精品解析：上海市七宝中学2024届高三三模考试数学试题(1)

2024年上海高三数学模拟试卷 2024.05 1. 已知集合，，若，则______． 2. 设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为______． 3. 的展开式中的系数是__________. 4. 不等式的解集为______． 5. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______． 6. 已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为______． 7. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 8. 若，，则满足的m的最大值为______． 9. 已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数______． 10. 已知点C在以AB为直径的球面上，若，则______． 11. 如图，河宽50米，河两岸A、B的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A走水路直接到B，也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到B的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位） 12. 已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（ ）. A. 越大，则r越大 B. 越大，则r越小 C. 若r大于零，则一定大于零 D. 若r大于零，则一定小于零 15. 已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 16. 设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A. ①、②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①、②都不正确 三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 掷两颗骰子，观察掷得的点数． （1）设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由； （2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望． 19. 某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． （1）判断是否为等比数列？并说明理由； （2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 20. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： （2）若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； （3）若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年上海高三数学模拟试卷 2024.05 1. 已知集合，，若，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得. 【详解】集合，，由，得，又， 因此，所以. 故答案为：3 2. 设（为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得. 【详解】由为纯虚数，得，解得， 所以实数m的值为. 故答案为： 3. 的展开式中的系数是__________. 【答案】8 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，令的指数为1，解出，可得结果. 【详解】展开式的通项公式为，(其中)， 令，解得，即二项式展开式中的系数为. 故答案为：8 4. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集. 【详解】由不等式，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5. 某校高三年级10名男生的身高数据（单位：）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______． 【答案】185 【解析】 【分析】利用80百分位数的定义求解即得. 【详解】显然该组数据已由小到大排列，由，得该组数据的第80百分位数为. 故答案为：185 6. 已知椭圆C的焦点、都在x轴上，P为椭圆C上一点，的周长为6，且，，成等差数列，则椭圆C的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出即可得解. 【详解】令椭圆长半轴长为，半焦距为，依题意，， 即，解得，则椭圆短半轴长， 所以椭圆C的标准方程为. 故答案为： 7. 设平面向量，，若，不能组成平面上的一个基，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面的基的概念，判断，利用向量共线的坐标公式计算即得. 【详解】由题意可知，，，， 则，解得. 故答案为：. 8. 若，，则满足的m的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 9. 已知，关于n的方程有且仅有一个解，则实数______． 【答案】252 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得. 【详解】由组合数的性质知，，当时，使得的有两个， 当时，使得的只有一个，而关于n的方程有且仅有一个解， 所以. 故答案为：252 10. 已知点C在以AB为直径的球面上，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用空间向量数量积的运算律计算得解. 【详解】由点C在以AB为直径的球面上，得， 所以. 故答案为： 11. 如图，河宽50米，河两岸A、B的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A走水路直接到B，也可以从A先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A到B的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位） 【答案】8.66 【解析】 【分析】按“胡不归”模型解决问题. 【详解】如图 设气垫船先沿着岸边行驶一段距离，再走水路. 在中，，，所以. 如图，作，且于点，则，所以. 所以从到所用的时间为：. 过作，垂足为，则. 所以. 故答案为：8.66 12. 已知有穷数列的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 【答案】144 【解析】 【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足，， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列的个数为， 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：144 【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键. 二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑） 13. 在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（ ）． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】直线a、b为异面直线，则直线a、b不相交， 反之，直线a、b不相交，直线a、b可能平行，也可能是异面直线， 所以在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的充分非必要条件. 故选：A 14. 设一组成对数据的相关系数为r，线性回归方程为，则下列说法正确的为（ ）. A. 越大，则r越大 B. 越大，则r越小 C. 若r大于零，则一定大于零 D. 若r大于零，则一定小于零 【答案】C 【解析】 【分析】利用与r的含义判断AB，根据r大于零时两变量正相关即可得一定大于零判断CD. 【详解】影响的是回归直线的斜率，r影响是两个变量之间的相关性， 所以与r之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB错误； 若r大于零，则说明两个变量之间成正相关，故一定大于零，故选项C正确，D错误. 故选：C 15. 已知函数的定义域为，则下列条件中，能推出1一定不是的极小值点的为（ ） A. 存在无穷多个，满足 B. 对任意有理数，均有 C. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数 D. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用极小值的意义推理判断A. 【详解】对于A，函数的图象如图， 显然函数满足题设条件，而1是的极小值点，A错误； 对于B，在附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于，因此1一定不是极小值点，B正确； 对于C，函数在上为严格减函数，在上为严格增函数，1是的极小值点，C错误； 对于D，函数图象如图， 函数在上为严格增函数，在上为严格减函数，1是的极小值点，D错误. 故选：B 16. 设集合，点P的坐标为，满足“对任意，都有”的点P构成的图形为，满足“存在，使得”的点P构成的图形为．对于下述两个结论：①为正方形以及该正方形内部区域；②的面积大于32．以下说法正确的为（ ）． A. ①、②都正确 B. ①正确，②不正确 C. ①不正确，②正确 D. ①、②都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】先确定所表达的意义，了解满足该条件的点的轨迹，再求点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案. 【详解】因为，表示除原点外的平面内的所有点. ， 所以表示到直线和的距离之和不大于4的点. 如图： 易知直线和垂直， 则，. 当时，. 因为，所以. 因为要求任意，所以是以原点为圆心，半径为的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外）， 因为要求存在，所以是以原点为圆心，半径在范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确； 当时，存在使得，故②正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件转化成，借助点到直线的距离公式，明确点坐标满足的条件. 三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤） 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且，，点分别为的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：由底面为正方形，得，又平面， 于是平面，而平面，则，同理， 又平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）利用等体积法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，点为的中点，在中，，点为的中点，同理， 在中，，因此， 在直角中，， 由（1）知平面，则平面，于是点到平面的距离为 设点到平面的距离为，由，得，解得， 所以点到平面的距离为. 18. 掷两颗骰子，观察掷得的点数． （1）设A：掷得的两个点数之和为偶数，B：掷得的两个点数之积为偶数，判断A、B是否相互独立．并说明理由； （2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望． 【答案】（1）不相互独立 （2）的分布为： 0 1 2 期望为1.【解析】 【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出，再利用相互独立事件的定义判断即得. （2）求出取得白球个数的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 依题意，，， 显然， 所以、不是相互独立的. 【小问2详解】 两个点数奇偶性不同的概率为，两个点数奇偶性相同的概率也是， 记取出白球的个数为，则可能的取值为：0，1，2， ，， ， 所以的分布为： 0 1 2 期望. 19. 某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． （1）判断是否为等比数列？并说明理由； （2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【答案】（1）是等比数列，理由如下： 依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. （2）9. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用构造法推理得解. （2）由（1）的结论，取，再结合已知利用单调性解指数不等式即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. 20. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、． （1）若的长轴长为2，焦距为4，求的渐近线方程： （2）若，双曲线左支上任意点T均满足，求a的最大值； （3）若双曲线的左支上存在点P、右支上存在点Q满足，求的离心率的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，由求出渐近线方程. （2）设出点的坐标，利用两点间距离公式求出有最小值，再结合已知求解即得. （3）设，结合已知可得，再按和分类建立不等式求出的范围. 【小问1详解】 令双曲线的半焦距为，依题意，，由，得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 设点的坐标为，，则， 于是， 当时，，因此，即，则，又，解得， 因此的最大值为. 【小问3详解】 设点，， 由，得，整理得：， 由，得，因此， 当时，由，得， 整理得:，解得或(舍)， 由，解得； 当时，由，得， 整理得：，在有解， 故，即，解得:或（舍）， 综上，曲线的离心率的取值范围是. 【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 21. 若曲线的切线与曲线共有个公共点（其中），则称为曲线的“切线”． （1）若曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为，求的值； （2）求曲线所有切线的方程； （3）设，是否存在，使得曲线在点处的切线为切线？若存在，探究满足条件的的个数，若不存在，说明理由． 【答案】（1）3 （2）曲线所有切线仅有一条，切线方程为. （3）存在，理由如下：因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 令， 所以， 因为，所以， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以的所有极大值为， 当时，极大值为，即. 当为正整数时，极大值均小于，所以在无零点. 当为负整数时，极大值均大于，的所有极小值为, 当时，极小值，且随着的增大，极小值越来越小， 因此曲线在点处的切线为切线，等价于有三个零点，等价于，即有解. 令，则， 所以在单调递增，又，， 所以存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线为切线. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标求出斜率，在应用导数的几何意义求解即可； （2）求出函数在点处的切线方程，在应用切线的定义求解即可； （3）根据，求得导数，从而求得在点处的切线方程，构造新函数，则有3个零点，应用导数进行讨论即可. 【小问1详解】 曲线在点处的切线为切线，另一个公共点的坐标为， 所以切线斜率为， 所以. 【小问2详解】 ，所以. 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即. 设， 因为切线为切线，所以有且仅有1个根， 所以解得， 所以曲线所有切线仅有一条，切线方程为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $