2024年中考数学复习-二次函数中特殊平行四边形的存在性复习讲义

二次函数中特殊平行四边形的存在性复习讲义 (一)菱形存在性 【例1】如图，已知二次函数的解析式为 抛物线与x轴交于 A, B两点, 点C(-1, n)在抛物线上；若点P在直线 AC上，点Q在坐标系内，且以A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形，则点Q的坐标为 . 【简答】先找使得 为等腰三角形的点 P的坐标，易知有如图所示： 四个，再补全菱形，找出对应的点Q即可. 易求得 ∴直线 AC 解析式: 直线与x轴成45°角，用几何法能更快求出 四个点的坐标。 ) 当取 P₁点时, 补全菱形，易知点Q₁的坐标为( 当取P₂点时， 补全菱形，易知点( 的坐标为 当取P₃点时， 补全菱形，易知点( 的坐标为 当取P₄点时， ，补全菱形，易知点 Q₄的坐标为 综上，满足条件的点Q的坐标为 (-4，2)或 或 )或 【例2】如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点， ( 连接AC和BC. (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，当 的周长最小时，点D的坐标为 . (3)点E 是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE .求 面积的最大值及此时点E 的坐标； (4)若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C 、M 、N为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】(1) ∵OA=2, OC=6, ∴A(-2,0), C(0,-6), ∵抛物线 过点 A、 C , 解得： ∴抛物线解析式为 (2)∵当y=0时, 解得：x₁=-2, x₂=3, ∴B(3,0),抛物线对称轴为直线 ∵点D在直线 上,点 A 、B 关于直线 对称， ∴当点B、 D、 C在同一直线上时， C最小,设直线BC解析式为y=kx-6, ∴3k-6=0, 解得: k=2, ∴直线BC:y=2x-6, 故答案为： (3) 过点E作. 轴于点G，交直线BC与点F， 设.E(t 则 ∴当 时, △BCE 面积最大, ∴点E 坐标为 时, △BCE 面积最大, 最大值为 (4)存在点N，使以点A、 C、M、N为顶点的四边形是菱形. ①若AC 为菱形的边长, 如图, 则MN∥AC 且,. (二)矩形的存在性 【例1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 A、B两点 (点 A 在点 B的左侧)，点D是第四象限内抛物线上的一点，直线 AD与y轴负半轴交于点C，且( 设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形?若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 【解析】由 得 A(-1, 0). 由 得 所以 D(4, 5a). 已知A(-1, 0)、D(4, 5a), xp=1, 以AD为分类标准, 分两种情况讨论: ①如图，如果 AD 为矩形的边，我们根据. 来两次平移坐标. 由于 A、D两点间的水平距离为5, 所以点Q的横坐标为-4. 所以Q(-4, 2la). 由于 A、D两点间的竖直距离为-5a, 所以点 P的纵坐标为26a. 所以P(1, 26a). 根据矩形的对角线相等，得. 所以 整理，得 所以 此时 ②如图, 如果AD为矩形的对角线, 我们根据 AP//QD, AP=QD 来两次平移坐标. 由于 A、P两点间的水平距离为2, 所以点Q的横坐标为2. 所以Q(2, -3a). 由于 Q、D两点间的竖直距离为-8a, 所以点P 的纵坐标为8a. 所以P(1, 8a). 再根据. 得 整理,得4 所以 此时 P(1,-4). 我们从图形中可以看到，利用“三垂直”构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的.边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系. 上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程. 如图1, 如果∠ADP=90°, 那么 如图2, 如果∠QAP=90°, 那么 【例2】如图，将抛物线 沿x轴翻折，得到抛物线( 现将抛物线 向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线 向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E.在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由. 【解析】首先我们要尽可能精确地画好抛物线，将 A、B、D、E、M、N六个点及它们的坐标在图中都标注出来(如图1)，不难发现△MAB和△NED 是边长为2的等边三角形，这样一来平移就简单了. 如图2，在两个等边三角形平移的过程中，AM与EN保持平行且相等，所以四边形 ANEM始终保持平行四边形的形状，点O为对称中心. 【解法一】如果∠ANE=90°, 根据30°角所对的直角边等于斜边.的一半, 可得 AE=2EN=4. 而 AE=AO+OE=2AO, 所以AO=2. 已知AB=2, 此时B、O重合(如图3), 所以m=BO=1. 【解法二】如果对角线MN=AE, 那么OM=OA, 此时△MAO是等边三角形. 所以等边△MAB 与△MAO重合. 因此B、O重合, m=BO=1. 【解法三】在平移的过程中， 根据( 列方程( 解得m=1. 【针对练习】 1.在平面直角坐标系xOy(如图)中，经过点 的抛物线 与y轴交于点 C, 点 B 与点 A、点D 与点C 分别关于该抛物线的对称轴对称. (1)求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角； (2)如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E的右边，过点E作 与点G，设E的横坐标为m， 的周长为1，试用m表示1； (3)点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标. 2.如图,抛物线 与x轴交于A(-3,0)、B(4,0)两点, 与y轴交于点C . (1)求抛物线解析式； (2) 抛物线对称轴上存在一点H, 连接AH、CH , 当 值最大时，求点H 坐标； (3) 若抛物线上存在一点P(m,n), 当 时,求点 P 坐标; (4) 若点M是 平分线上的一点，点N是平面内一点，若以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，请直接写出点N坐标. (三)正方形的存在性 【例1】如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE与x轴交于点E，连接BD. 已知点P为BD的中点，过点P作 轴于点F，点G为抛物线上一动点，点M为x轴上一动点，点N为直线PF上一动点，若以点F，M，N，G为顶点的四边形是正方形，则点M的坐标为 . 【解答】由已知得: P(2, 2), F(2, 0), 设点M的坐标为(a, 0), 则点 G的坐标为( ∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形， 即 当 时，整理得 解得 当 时，整理得 解得 ∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为 【针对练习】 1. 如图, 已知抛物线经过点A(1,0), B(-3,0), 与y轴交于点( 抛物线的顶点为D，对称轴与x轴相交于点E，连接BD.点P在线段BD上，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，交x轴于点F. (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)当 的面积最大时，求点P的坐标. (3)在(2)的条件下，点M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，G为抛物线上一动点，当以点F，N，G，M四点为顶点的四边形为正方形时，直接写出满足条件的点M的坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$