第3章 整式及其加减 中档题拓展训练（9个考点50题专练）-2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第3章 整式及其加减 中档题拓展训练【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学七年级上册 考点梳理 一.代数式 二.列代数式 三.代数式求值 四.合并同类项 五.规律型:数字的变化类 六.规律型:图形的变化类 七.多项式 八.整式的加减 九.整式的加减—化简求值 考点精讲精练 一.代数式 代数式 代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子.单独的一个数或者一个字母也是代数式.例如:ax+2b,﹣13,2b3,a+2等.带有“<(≤)”“>(≥)”“=”“≠”等符号的不是代数式. 注意:①不包括等于号(=)、不等号(≠、≤、≥、<、>、≮、≯)、约等号≈. ②可以有绝对值.例如:|x|,|﹣2.25|等. 1.(2024•盐田区二模)代数式的意义可以是 A.与的和 B.与的差 C.与的积 D.与的商 二.列代数式 列代数式 (1)定义:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式. (2)列代数式五点注意:①仔细辨别词义. 列代数式时,要先认真审题,抓住关键词语,仔细辩析词义.如“除”与“除以”,“平方的差(或平方差)”与“差的平方”的词义区分. ②分清数量关系.要正确列代数式,只有分清数量之间的关系. ③注意运算顺序.列代数式时,一般应在语言叙述的数量关系中,先读的先写,不同级运算的语言,且又要体现出先低级运算,要把代数式中代表低级运算的这部分括起来.④规范书写格式.列代数时要按要求规范地书写.像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写,数与数相乘必须写乘号;除法可写成分数形式,带分数与字母相乘需把代分数化为假分数,书写单位名称什么时不加括号,什么时要加括号.注意代数式括号的适当运用. ⑤正确进行代换.列代数式时,有时需将题中的字母代入公式,这就要求正确进行代换. 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1.在同一个式子或具体问题中,每一个字母只能代表一个量. 2.要注意书写的规范性.用字母表示数以后,在含有字母与数字的乘法中,通常将“ ”简写作“•”或者省略不写. 3.在数和表示数的字母乘积中,一般把数写在字母的前面,这个数若是带分数要把它化成假分数. 4.含有字母的除法,一般不用“ ”(除号),而是写成分数的形式. 2.(2024•香洲区二模)数学知识广泛应用于化学领域,是研究化学的重要工具.比如在学习醇类化学式时,甲醇化学式为,乙醇化学式为,丙醇化学式为,按此规律,当碳原子的数目为为正整数),醇类的化学式通式是 A. B. C. D. 3.(2024春•章丘区期中)如图,长为,宽为的大长方形被分割为7小块.除阴影,外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短的边长为,则阴影的较短边和阴影的较短边之和为 A. B. C. D. 4.(2024春•英德市期中)某种细菌每分钟分裂成3个,一个细菌经过3分钟分裂,再继续分裂分钟后共分裂成 个. A. B. C. D. 5.(2023秋•海沧区期末)将一个三位数,分别是百位上、十位上的数字)的中间数字去掉变为一个两位数.若满足,则,满足的关系为 A. B. C. D. 6.(2024•河北一模)如图所示的长方体中,棱的长度为,矩形与矩形的面积如图所示,则矩形的面积为 A. B. C. D. 7.(2024•南明区一模)如图,三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目,当时,三角数为1,当时,三角数为3,则当时,三角数为 A.100 B.110 C.55 D.50 8.(2024春•拱墅区校级期中)如图,图形,,,是形状和大小相同,能完全重合的图形,根据图中数据可计算得图形的面积是 A. B. C. D. 9.(2024春•金坛区期中)已知一个正方形的边长是,若它的边长增加1,则这个正方形的面积增加 A.1 B. C. D. 10.(2024春•新城区校级月考)数学是研究化学的重要工具,数学知识广泛应用于化学领域,比如在学习化学的醇类化学式中,甲醇化学式为,乙醇化学式为,丙醇化学式为,设碳原子的数目为为正整数),则醇类的化学式 来表示. 11.(2024•城阳区一模)小刚家和小丽家到学校的路程都是,其中小丽走的是平路,骑车速度是 .小刚需要走上坡路和的下坡路,在上坡路上的骑车速度是 ,在下坡路上的骑车速度是 .如果他们同时出发,那么早到的人比晚到的人少用 (结果化为最简). 12.(2024•富阳区一模)如图,在中,,,点,分别在边,上,连接,将沿折叠,点的对应点为点若点刚好落在边上,且,,则的长为 (用含的代数式表示) 13.(2024春•张家港市校级月考)若,,,则用,的代数式表示为 . 14.(2024春•青羊区校级期中)如图,已知,和分别平分和,若,则 度.(用含的代数式表示) 15.(2024•邗江区一模)某动物园利用杠杆原理称象:如图,在点处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点、处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为.设大象的重量为,若铁笼固定不动,移动弹簧秤使扩大到原来的10倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 (用含的代数式表示). 16.(2024•淮安区一模)如图,沿将正方形折叠为面积比是的两部分(其中四边形面积较小),点落在边上的处,与相交于点.若四边形面积占正方形面积的,设,,用含,的式子表示的长是 . 17.(2023秋•东阳市期末)在综合实践课上,小聪用张尺寸如图①所示的长方形白纸条(单位:厘米),按图②所示的方法粘合得到长方形,粘合部分的长度为6厘米;小明用张同样的纸片按如图③所示的方法粘合得到长方形,粘合部分的长度为4厘米. (1)当时,求的长. (2)请用的代数式表示的长. (3)现有图①所示长方形白纸条20张,你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗?请写出分配方案,并说明理由.(注:图①纸条不能裁剪,且每人分到的纸条不能少于2张) 18.(2024春•莱芜区期中)甲、乙两个长方形的边长如图所示为正整数),其面积分别为,. (1)用含的代数式表示,,并求的值; (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和,求这个正方形的面积.(用含的代数式表示) 19.(2024春•玄武区校级期中)(1)如图1,正方形和的边长分别为、,用含、的代数式表示的面积. (2)如图2,正方形和的边长分别为、,用含、的代数式表示的面积. (3)如图,正方形、正方形和正方形的位置如图所示,点在线段上,已知正方形的边长为6,则的面积为 (请直接写出结果,不需要过程) 20.(2024春•南岗区校级期中)今年冬天,南方游客在哈尔滨得到了一个可爱的呢称:“南方小土豆”.萧萧是来自广东的小土豆,他们一家在哈尔滨玩了3天,就舍不得走了,在我市购买了一套房,这是萧萧画的新房建筑平面图:(单位:米) (1)求地面面积(不考虑墙体厚度); (2)萧萧想把所有房间的地面都铺上地砖.他在、两个商场看到同一款地砖,零售价都为78元平方米,商场规定:购买面积不超过12平米,按总价的优惠;购买面积超过12平米按总价的优惠;超过24平米按总价的优惠. 商场规定如下表: 面积范围(平方米) 6以上 18以上 价格(元 此范围费用按收取 此范围费用按收取 此范围费用按收取 当,时,你能通过计算帮助他选择在哪个商场购买更优惠? 三.代数式求值 代数式求值 (1)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果叫做代数式的值. (2)代数式的求值:求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简,要先化简再求值. 题型简单总结以下三种: ①已知条件不化简,所给代数式化简; ②已知条件化简,所给代数式不化简; ③已知条件和所给代数式都要化简. 21.(2024春•沙坪坝区校级期中)根据流程图中的运算程序,当输入数据时,输出结果为 A.1 B.9 C.25 D.81 22.(2024春•南浔区期中)如图,长为,宽为的大长方形被分割为7小块,除阴影,外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短的边长为,下列说法中正确的有 ①小长方形的较长边为; ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为; ③若为定值,则阴影和阴影的周长和为定值; ④当时,阴影和阴影的面积和为定值. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.(2024春•溧阳市期中)若,则代数式的值是 A.8 B.10 C.12 D.24 24.(2024春•沙坪坝区校级期中)已知,则的值是 A. B. C. D. 25.(2024•河北模拟)数学课上,老师给出如下运算程序 运算规则:如果结果不大于0,就把结果作为输入的数进行第二次运算,依此运行,直到结果大于0输出结果,运算程序停止. (1)当输入的数是时,需要经过几次运算才能输出结果,并求出输出的结果; (2)当输入后,经过一次运算,结果即符合要求,求出的非正整数值. 26.(2024春•沈丘县月考)历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号来表示.例如,把等于某数时多项式的值用(某数)来表示.例如时多项式的值记为. (1)已知,求出的值; (2)已知,,求的值. 四.合并同类项 合并同类项 (1)定义:把多项式中同类项合成一项,叫做合并同类项. (2)合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变. (3)合并同类项时要注意以下三点: ①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数; ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的; ③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变. 27.(2024春•玄武区校级期中)阅读下列材料:小明为了计算的值,采用以下方法: 设①, 则②, ②①得,. 请仿照小明的方法解决以下问题: (1) ; (2) ; (3)求的值.(请写出计算过程) 五.规律型:数字的变化类 规律型:数字的变化类 探究题是近几年中考命题的亮点,尤其是与数列有关的命题更是层出不穷,形式多样,它要求在已有知识的基础上去探究,观察思考发现规律. (1)探寻数列规律:认真观察、仔细思考,善用联想是解决这类问题的方法,通常将数字与序号建立数量关系或者与前后数字进行简单运算,从而得出通项公式. (2)利用方程解决问题.当问题中有多个未知数时,可先设出其中一个为x,再利用它们之间的关系,设出其他未知数,然后列方程. 28.(2023秋•渝中区校级期末)对于以下式子:,,,,下列说法正确的有 (1)如果,则无论取何常数,,,,调整顺序后可组成一列数,这列数后项减去前项的差均相等; (2)代数式一定是非负数; (3)如果为第1项,为第2项,为第3项,第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项,第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项,,依此类推,则第2024项为. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 29.(2024春•海淀区校级期中)将1,,,,按右侧方式排列.若规定表示第排从左向右第个数,则所表示的数是 ;与表示的两数之积是 . 30.(2024春•青羊区校级月考)根据公式(其中为正整数,且.计算 . 31.(2024春•长汀县期中)、、、四人做传数游戏,任报一个数给,把这个数减1传给,再把所得的数平方后传给,把所听到的数加2报出答案. (1)若报的数为21,则的答案是 ; (2)设报给的数为,若报出的答案是27,求传给的数是多少? 32.(2024春•惠山区校级月考)(1)填空: (2)探索(1)中的式子的规律,试写出第个等式,并说明第个等式成立; (3)计算. 33.(2024•霍邱县模拟)观察下列等式: 第1个等式:; 第2个等式:; 第3个等式:; 第4个等式:; 根据以上规律,解决下列问题. (1)直接写出第5个等式: ; (2)写出你猜想的第个等式: (用含的等式表示),并证明. 34.(2024•合肥一模)观察以下等式: 第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 第5个等式:. 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式: ; (2)写出你猜想的第个等式: (用含的等式表示),并证明. 六.规律型:图形的变化类 规律型:图形的变化类 图形的变化类的规律题 首先应找出图形哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考,善用联想来解决这类问题. 35.(2024春•长寿区校级期中)下列图形是按照一定规律排列的,其中第①个图形中有3个圆点,第②个图形中有9个圆点,第③个图形中有18个圆点,按此规律排列下去,第⑦个图形中的圆点的个数为 A.80 B.82 C.84 D.86 36.(2024•铜梁区一模)如图、小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动,第①个图案由2个等边三角形组成,第②个图案由6个等边三角形组成,第③个图案由10个等边三角形组成按照这样的规律排列下去,则第⑥个图案中,边长为1的等边三角形的个数为 A.17 B.22 C.27 D.32 37.(2024•德化县模拟)如图,中国结寓意着美满团圆,其中间的图案是由小正方形按一定规律组成的,其中第1个图形共有小正方形14个;第2个图形共有小正方形19个;第3个图形共有小正方形24个;;则第20个图形中小正方形的总个数为 A.114 B.109 C.104 D.99 38.(2023秋•婺城区期末)如图,用大小相同的黑白两种小正方形按一定规律摆放,第1个图案中白色小正方形为5个,第2个图案中白色小正方形为8个,,则第2024个图案中白色小正方形的个数为 个. 39.(2024•安乡县一模)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒若按照这样的方法拼成的第2024个图形需要 根小木棒. 40.(2024•淄博模拟)用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按如图的方式铺地面: (1)观察图形,填写下表: 图形 ① ② ③ 黑色瓷砖的块数 4 7 黑白两种瓷砖的总块数 9 15 (2)依上推测,第个图形中黑色瓷砖的块数为 ,黑白两种瓷砖的总块数为 (用含的代数式表示); (3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由. 七.多项式 多项式 (1)几个单项式的和叫做多项式,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫做常数项.多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数. (2)多项式的组成元素的单项式,即多项式的每一项都是一个单项式,单项式的个数就是多项式的项数,如果一个多项式含有a个单项式,次数是b,那么这个多项式就叫b次a项式. 41.(2024春•海淀区校级期中)在代数式,,,,,中,单项式的个数是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 八.整式的加减 整式的加减 (1)几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接;然后去括号、合并同类项. (2)整式的加减实质上就是合并同类项. (3)整式加减的应用: ①认真审题,弄清已知和未知的关系; ②根据题意列出算式; ③计算结果,根据结果解答实际问题. 【规律方法】整式的加减步骤及注意问题 1.整式的加减的实质就是去括号、合并同类项.一般步骤是:先去括号,然后合并同类项. 2.去括号时,要注意两个方面:一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项;二是当括号外是“﹣”时,去括号后括号内的各项都要改变符号. 42.(2024春•重庆期中)已知有序整式串:,,对其进行如下操作: 第1次操作:用第一个整式减去第二个整式得到一个整式,将得到的整式作为新整式串的第一项,即得到新的整式串:,,; 第2次操作:用第一个整式减去第二个整式得到一个整式,将得到的整式作为新整式串的第一项,即得到新的整式串:,,,; 依次进行操作.下列说法: ①第3次操作后得到的整式串为:,,,,; ②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等; ③第2024次操作后得到的整式串各项之和为. 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 43.(2024春•南岗区校级期中)下列运算中,正确的是 A. B. C. D. 44.(2024春•渝北区校级月考)一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0,若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和,则称这个四位数为“等和数”.将“等和数” 的千位数字与百位数字对调,十位数字与个位数字对调得到一个新的四位数.若能被9整除,则 ,在此条件下,若为整数,则满足条件的的和为 . 45.(2024春•梁平区期中)若一个两位数满足,其中、均为正整数,则称为好数,那么最大的好数是 ;若、同时还满足或4,则称为绝对好数,那么绝对好数的个数为 . 46.(2024春•鹿城区校级期中)关于的整式,它的各项系数之和为:(常数项系数为常数项本身).已知是关于的整式,最高次项次数为2,系数为1,若,是一个只含两项的多项式,则各项系数之和的最大值为 . 47.(2024春•长寿区校级期中)如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0,满足,则称该四位数为“和百数”.例如:四位数3268,,是“和百数”;又如四位数4367,,不是“和百数”.若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除,则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是 . 48.(2024•裕华区校级二模)定义:,,为实数,若,则称与是关于的对称数. (1)2与4是关于 的对称数,与 是关于3的对称数; (2)若,,且与是关于的对称数,试求出的值. 49.(2024春•南岗区校级期中)化简 (1); (2); (3); (4). 九.整式的加减—化简求值 整式的加减—化简求值 给出整式中字母的值,求整式的值的问题,一般要先化简,再把给定字母的值代入计算,得出整式的值,不能把数值直接代入整式中计算. 50.(2023秋•台州期末)先化简,再求值:,其中,. 第3章 整式及其加减 中档题拓展训练【9个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版数学七年级上册 参考答案与试题解析 考点梳理 一.代数式 二.列代数式 三.代数式求值 四.合并同类项 五.规律型:数字的变化类 六.规律型:图形的变化类 七.多项式 八.整式的加减 九.整式的加减—化简求值 考点精讲精练 一.代数式 1.(2024•盐田区二模)代数式的意义可以是 A.与的和 B.与的差 C.与的积 D.与的商 【答案】 【考点】代数式 【专题】整式;运算能力 【分析】根据代数式的意义判断. 【解答】解:代数式的意义是与的积. 故选:. 【点评】本题考查了代数的意义,解题的关键是掌握代数式的意义. 二.列代数式 2.(2024•香洲区二模)数学知识广泛应用于化学领域,是研究化学的重要工具.比如在学习醇类化学式时,甲醇化学式为,乙醇化学式为,丙醇化学式为,按此规律,当碳原子的数目为为正整数),醇类的化学式通式是 A. B. C. D. 【答案】 【考点】规律型:数字的变化类;列代数式 【专题】整式;推理能力 【分析】设碳原子的数目为为正整数)时,找到氢原子数目的规律;再根据数值变化规律即可解决问题. 【解答】解:设碳原子的数目为为正整数)时,氢原子的数目为, 观察,发现规律:, , ,, . 碳原子的数目为为正整数)时, 它的化学式为. 故选:. 【点评】本题考查了列代数式,解题的关键是根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律. 3.(2024春•章丘区期中)如图,长为,宽为的大长方形被分割为7小块.除阴影,外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短的边长为,则阴影的较短边和阴影的较短边之和为 A. B. C. D. 【答案】 【考点】列代数式 【专题】运算能力;几何直观;整式 【分析】由大长方形的宽及小长方形的长、宽,可得出阴影,的较短边长,将其相加可得出阴影的较短边和阴影的较短边之和,即可进行判断. 【解答】解:大长方形的宽为 , 小长方形的长为, 小长方形的宽为. 阴影的较短边为:; 阴影的较短边为, 阴影的较短边和阴影的较短边之和为, 故选:. 【点评】本题考查了列代数式,根据图形各边之间的数量关系来列代数式是解题的关键. 4.(2024春•英德市期中)某种细菌每分钟分裂成3个,一个细菌经过3分钟分裂,再继续分裂分钟后共分裂成 个. A. B. C. D. 【答案】 【考点】列代数式 【专题】运算能力;整式 【分析】根据1个分裂成3个,得出经过3分钟,一个细菌分裂成个,再根据规律得到再分裂分钟后细菌的总数. 【解答】解:分钟分裂了3次, 再过分钟共分裂次, 又每次分裂成3个, 共分裂成个, 故选:. 【点评】本题考查了列代数式,解题的关键是找到题中的规律来列代数式. 5.(2023秋•海沧区期末)将一个三位数,分别是百位上、十位上的数字)的中间数字去掉变为一个两位数.若满足,则,满足的关系为 A. B. C. D. 【答案】 【考点】列代数式 【专题】整式;推理能力 【分析】根据题所给的等量关系列出等式化简即可. 【解答】解:由题意得,, 化简可得, 故选:. 【点评】本题考查了数字类型的列代数式,列出代数式之间的等量关系是解题的关键. 6.(2024•河北一模)如图所示的长方体中,棱的长度为,矩形与矩形的面积如图所示,则矩形的面积为 A. B. C. D. 【答案】 【考点】列代数式;认识立体图形 【专题】运算能力;整式 【分析】根据长方形的面积公式,分别算出和的长;再相乘计算出的面积. 【解答】解:, , , 故选:. 【点评】本题考查了列代数式,解题的关键是运用长方形的面积公式来解答. 7.(2024•南明区一模)如图,三角数是能够组成大大小小等边三角形的点的数目,当时,三角数为1,当时,三角数为3,则当时,三角数为 A.100 B.110 C.55 D.50 【答案】 【考点】规律型:图形的变化类;列代数式 【专题】运算能力;整式 【分析】根据题目中的图形,可以发现正三角数的变化情况,从而可以求得第10个图案中的三角数. 【解答】解:当时,三角数为1, 当时,三角数为, 当时,三角数为, 当时,三角数为, , 当时,三角数为, 故选:. 【点评】本题考查了列代数式,解答本题的关键是明确题意,发现题目中三角数的变化规律,利用数形结合的思想解答. 8.(2024春•拱墅区校级期中)如图,图形,,,是形状和大小相同,能完全重合的图形,根据图中数据可计算得图形的面积是 A. B. C. D. 【答案】 【考点】代数式求值;列代数式 【专题】常规题型;几何直观 【分析】将图形图形,,,平移可以组成一个边长为2个单位长度的正方形中心挖去一个直径为1个单位长度的圆的图案.据此解答. 【解答】解:正方形的面积是: 圆的面积是: 的面积为: 故选:. 【点评】本题考查平移以及面积计算的题目,要能够准确识别图形,并进行正确的计算. 9.(2024春•金坛区期中)已知一个正方形的边长是,若它的边长增加1,则这个正方形的面积增加 A.1 B. C. D. 【答案】 【考点】列代数式 【专题】整式;运算能力 【分析】根据正方形的面积公式,分别算出正方形原来和增加后的面积;最后相减,化简得到结果. 【解答】解: , 故选:. 【点评】本题考查了代数式,解题的关键是运用正方形的面积公式来解答. 10.(2024春•新城区校级月考)数学是研究化学的重要工具,数学知识广泛应用于化学领域,比如在学习化学的醇类化学式中,甲醇化学式为,乙醇化学式为,丙醇化学式为,设碳原子的数目为为正整数),则醇类的化学式 来表示. 【答案】. 【考点】列代数式;规律型:数字的变化类 【专题】整式;运算能力 【分析】设碳原子的数目为为正整数)时,碳原子的数目为,根据的变化找出变化规律即可解决问题. 【解答】解:设碳原子的数目为为正整数)时,碳原子的数目为, 观察,发现规律:甲醇的, 乙醇的, 丙醇的, . 碳原子的数目为为正整数)时,它的化学式为. 故答案为:. 【点评】本题考查了列代数式,解题的关键是根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键. 11.(2024•城阳区一模)小刚家和小丽家到学校的路程都是,其中小丽走的是平路,骑车速度是 .小刚需要走上坡路和的下坡路,在上坡路上的骑车速度是 ,在下坡路上的骑车速度是 .如果他们同时出发,那么早到的人比晚到的人少用 (结果化为最简). 【答案】. 【考点】列代数式 【专题】应用意识;整式 【分析】分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间,然后求出小刚从家到学校需要的时间;再求出小丽在路上花费的时间;然后求出少用的时间. 【解答】解:小刚上坡路走的时间:, 下坡路走的时间:, 总时间为:; 小丽花费的时间为:. , 故答案为:. 【点评】本题考查了列代数式,解答本题的关键是读懂题意,找出合适的等量关系,注意题中相关量要用合适的分式表示出来. 12.(2024•富阳区一模)如图,在中,,,点,分别在边,上,连接,将沿折叠,点的对应点为点若点刚好落在边上,且,,则的长为 (用含的代数式表示) 【答案】. 【考点】列代数式 【专题】运算能力;几何直观;整式 【分析】根据折叠的性质以及含角的直角三角形的性质,得出,即可求解. 【解答】解:在中,,, , 又将沿折叠,点的对应点为点,点刚好落在边上, , 则. 故答案为:. 【点评】本题考查了列代数式问题,熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题关键. 13.(2024春•张家港市校级月考)若,,,则用,的代数式表示为 . 【答案】. 【考点】列代数式 【专题】整式;运算能力 【分析】根据,结合同底数幂的乘法公式,进行求解即可. 【解答】解:,,,, , , ; 故答案为:. 【点评】本题考查了列代数式,解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则. 14.(2024春•青羊区校级期中)如图,已知,和分别平分和,若,则 度.(用含的代数式表示) 【答案】. 【考点】列代数式 【专题】几何直观;整式 【分析】根据平行线的性质,得到和与各角的数量关系;再根据平分线的定义,得到和与各角的数量关系;最后用代数式表示出的度数. 【解答】解:, ; . 和分别平分和, ;. 又, , 即:, , , 故答案为:. 【点评】本题考查了列代数式问题,掌握平行线的性质、平分线的定义和角之间的数量关系是解题的关键. 15.(2024•邗江区一模)某动物园利用杠杆原理称象:如图,在点处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点、处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为.设大象的重量为,若铁笼固定不动,移动弹簧秤使扩大到原来的10倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为 (用含的代数式表示). 【答案】. 【考点】列代数式 【专题】跨学科;应用意识;整式;运算能力 【分析】根据由得,,设移动弹簧秤后的点为,读数为,再,得出与的关系即可. 【解答】解:由得,, 设移动弹簧秤后的点为,读数为, , , , , , 故答案为:. 【点评】本题考查了列代数式及等式,跨学科的理解和掌握是解题关键. 16.(2024•淮安区一模)如图,沿将正方形折叠为面积比是的两部分(其中四边形面积较小),点落在边上的处,与相交于点.若四边形面积占正方形面积的,设,,用含,的式子表示的长是 . 【答案】. 【考点】列代数式 【专题】几何直观;数形结合 【分析】设正方形的面积为,则四边形的面积为,四边形的面积为,四边形的面积为,,,证明,再证明 ,利用相似三角形的性质即可求得的长. 【解答】解:设正方形的面积为, 沿将正方形折叠为面积比是的两部分, 四边形的面积为,四边形的面积为, 四边形面积占正方形面积的, 四边形的面积为, ,, 四边形为正方形, , 四边形由正方形沿折叠得到的, ,, , , , , ,, , ,即, , 故答案为:. 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,翻折的性质,正方形的性质等知识点,解题的关键在于用含,的代数式表示相似三角形之间的关系. 17.(2023秋•东阳市期末)在综合实践课上,小聪用张尺寸如图①所示的长方形白纸条(单位:厘米),按图②所示的方法粘合得到长方形,粘合部分的长度为6厘米;小明用张同样的纸片按如图③所示的方法粘合得到长方形,粘合部分的长度为4厘米. (1)当时,求的长. (2)请用的代数式表示的长. (3)现有图①所示长方形白纸条20张,你能找到合适的分配方案使小聪和小明按各自要求粘合起来的长方形面积相等吗?请写出分配方案,并说明理由.(注:图①纸条不能裁剪,且每人分到的纸条不能少于2张) 【答案】(1)126厘米;(2);(3)没有合适的分配方案,理由见解析. 【考点】列代数式 【专题】整式;运算能力 【分析】(1)根据题意厘米即可. (2)根据题意列出即可. (3)设小聪应分配到张长方形白纸条,则小明应分配到张长方形白纸条,根据等量关系,列出关于的一元一次方程,解出方程即是所求. 【解答】解:(1)厘米. (2)根据题意得: . (3)设小聪应分配到张长方形白纸条,则小明应分配到张长方形白纸条,依题意有: , 解得, 图①纸条不能裁剪,且每人分到的纸条不能少于2张, 没有合适的分配方案. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,熟练掌握以上知识点是解题的关键. 18.(2024春•莱芜区期中)甲、乙两个长方形的边长如图所示为正整数),其面积分别为,. (1)用含的代数式表示,,并求的值; (2)若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和,求这个正方形的面积.(用含的代数式表示) 【答案】(1),,.(2). 【考点】列代数式 【专题】整式;运算能力 【分析】(1)根据长方形的面积等于长乘以宽,列出式子,根据多项式乘以多项式计算即可; (2)先求出甲,乙两个长方形的周长之和,再求出正方形的边长,最后算出正方形的面积即可. 【解答】解:(1); ; . (2)甲、乙两个长方形的周长之和为: , 正方形的边长为:. 该正方形的面积为: . 答:该正方形的面积为. 【点评】本题考查了列代数式,熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键. 19.(2024春•玄武区校级期中)(1)如图1,正方形和的边长分别为、,用含、的代数式表示的面积. (2)如图2,正方形和的边长分别为、,用含、的代数式表示的面积. (3)如图,正方形、正方形和正方形的位置如图所示,点在线段上,已知正方形的边长为6,则的面积为 36 (请直接写出结果,不需要过程) 【考点】列代数式 【专题】计算题 【分析】(1)利用面积的和差计算:的面积等于四边形的面积减去三角形的面积,而四边形的面积等于梯形的面积与三角形的面积和,于是得到的面积,然后化简即可; (2)与(1)的方法一样求解; (3)利用(1)、(2)的结论求出的面积和的面积,然后把它们相加即可. 【解答】解:(1)的面积; (2)的面积; (3)连接,如图3, 由(1)得的面积, 由(2)得的面积, 所以的面积. 故答案为36. 【点评】本题考查了列代数式:把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式.也考查了正方形的性质和三角形面积公式. 20.(2024春•南岗区校级期中)今年冬天,南方游客在哈尔滨得到了一个可爱的呢称:“南方小土豆”.萧萧是来自广东的小土豆,他们一家在哈尔滨玩了3天,就舍不得走了,在我市购买了一套房,这是萧萧画的新房建筑平面图:(单位:米) (1)求地面面积(不考虑墙体厚度); (2)萧萧想把所有房间的地面都铺上地砖.他在、两个商场看到同一款地砖,零售价都为78元平方米,商场规定:购买面积不超过12平米,按总价的优惠;购买面积超过12平米按总价的优惠;超过24平米按总价的优惠. 商场规定如下表: 面积范围(平方米) 6以上 18以上 价格(元 此范围费用按收取 此范围费用按收取 此范围费用按收取 当,时,你能通过计算帮助他选择在哪个商场购买更优惠? 【答案】(1)地面面积为平方米; (2)在商场购买更优惠. 【考点】列代数式 【专题】计算题;运算能力 【分析】(1)地面面积个长为6米,宽为5.5米的长方形面积个长为米,宽为1米的长方形面积个长为米,宽为3米的长方形面积; (2)当,时,计算出地面面积,分别计算、商场的花费,进行比较,可得在哪个商场购买更优惠. 【解答】解:(1)地面面积(平方米), 答:地面面积为平方米; (2)当,时,地面面积(平方米), 商场的花费(元, 商场的花费(元, , 在商场购买更优惠. 【点评】本题考查了列代数式,关键是根据新房建筑平面图正确列出地面面积. 三.代数式求值 21.(2024春•沙坪坝区校级期中)根据流程图中的运算程序,当输入数据时,输出结果为 A.1 B.9 C.25 D.81 【答案】 【考点】代数式求值 【专题】运算能力;整式 【分析】根据图中的程序表,把代入,求出的值,得出的值即可. 【解答】解:当时,, 当时,, 故选:. 【点评】本题主要考查了代数式求值问题.正确计算是关键. 22.(2024春•南浔区期中)如图,长为,宽为的大长方形被分割为7小块,除阴影,外,其余5块是形状、大小完全相同的小长方形,其较短的边长为,下列说法中正确的有 ①小长方形的较长边为; ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为; ③若为定值,则阴影和阴影的周长和为定值; ④当时,阴影和阴影的面积和为定值. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 【考点】代数式求值;列代数式 【专题】整式;运算能力 【分析】利用图形求得阴影,的长与宽,利用已知条件对每个结论进行逐一判断即可得出结论. 【解答】解:小长方形的较短的边长为, 阴影的较长边为,较短边为; 阴影的较长边为. 阴影的较长边与小长方形的较长边相等, 小长方形的较长边为:.小长方形的较短边为:. ①正确; 阴影的较短边和阴影的较短边之和为: . ②错误; 阴影和阴影的周长和为: , 若为定值,则阴影和阴影的周长和为定值. ③正确; 阴影和阴影的面积和为: , 当时, , 当时,阴影和阴影的面积和为定值. ④正确. 综上,正确的结论有:①③④, 故选:. 【点评】本题主要考查了列代数式,求代数式的值,充分利用图形的特点求得阴影,的长与宽是解题的关键. 23.(2024春•溧阳市期中)若,则代数式的值是 A.8 B.10 C.12 D.24 【答案】 【考点】代数式求值 【专题】整式;运算能力 【分析】根据等式的基本性质进行恒等变形即可. 【解答】解:, , . 故选:. 【点评】本题考查了代数式求值,熟练掌握等式的基本性质是关键. 24.(2024春•沙坪坝区校级期中)已知,则的值是 A. B. C. D. 【答案】 【考点】代数式求值 【专题】整式;运算能力 【分析】根据分式的运算法则化简即可. 【解答】解:, , 故选:. 【点评】本题考查分式的化简求值,掌握整体代入是解题的关键. 25.(2024•河北模拟)数学课上,老师给出如下运算程序 运算规则:如果结果不大于0,就把结果作为输入的数进行第二次运算,依此运行,直到结果大于0输出结果,运算程序停止. (1)当输入的数是时,需要经过几次运算才能输出结果,并求出输出的结果; (2)当输入后,经过一次运算,结果即符合要求,求出的非正整数值. 【答案】(1)3次,4; (2),0. 【考点】有理数的混合运算;代数式求值 【专题】计算题;运算能力 【分析】(1)根据运算顺序和规则逐步计算即可; (2)根据题意,可得,正确求解即可. 【解答】解:(1)第一次运算:, 第二次运算:, 第三次运算:, 需要经过3次运算才能输出结果,输出的结果是4; (2)根据题意可得:, 解得:, 为非正整数, 的值为,0. 【点评】本题考查的是代数式求值和有理数的混合运算,根据上述运算规则和顺序进行求解是解题的关键. 26.(2024春•沈丘县月考)历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号来表示.例如,把等于某数时多项式的值用(某数)来表示.例如时多项式的值记为. (1)已知,求出的值; (2)已知,,求的值. 【答案】(1);(2). 【考点】有理数的混合运算;代数式求值 【专题】整式;运算能力 【分析】(1)直接将代入求解即可; (2)将代入得到关于的一元一次方程,然后解方程求解即可. 【解答】解:(1), ; (2),, , 则,解得. 【点评】本题考查代数式求值、解一元一次方程,理解题中表示是解答的关键. 四.合并同类项 27.(2024春•玄武区校级期中)阅读下列材料:小明为了计算的值,采用以下方法: 设①, 则②, ②①得,. 请仿照小明的方法解决以下问题: (1) ; (2) ; (3)求的值.(请写出计算过程) 【答案】(1); (2); (3). 【考点】有理数的混合运算;合并同类项 【专题】阅读型;计算题;运算能力 【分析】(1)根据题中所给的方法即可解决问题. (2)根据题中所给的方法即可解决问题. (3)根据题中所给的方法即可解决问题. 【解答】解:(1)令,①, 则②, ②①得,, ; 故答案为:; (2)令①, 则②, ②①得,, ; 故答案为:; (3)令①, 则②, ②①得,, , 故. 【点评】本题考查数字的变化规律,灵活应用题中所给的方法求和,并能准确计算是解题的关键. 五.规律型:数字的变化类 28.(2023秋•渝中区校级期末)对于以下式子:,,,,下列说法正确的有 (1)如果,则无论取何常数,,,,调整顺序后可组成一列数,这列数后项减去前项的差均相等; (2)代数式一定是非负数; (3)如果为第1项,为第2项,为第3项,第1项与第2项的和减去第3项的结果为第4项,第2项与第3项的和减去第4项的结果为第5项,,依此类推,则第2024项为. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】 【考点】规律型:数字的变化类 【专题】运算能力;规律型 【分析】根据题意进行计算求解判定. 【解答】解:(1)当时,,,,, 当排列为:、、、时,, 故(1)是正确的; (2)不一定是非负数, 故(2)是错误的; (3)这列数为:,,,,,,,,,,, 两个为一组,每组中的系数都是1,的系数是互为相反数,且绝对值一次增加3, 第2024项为, 故(3)是正确的; 故选:. 【点评】本题考查数字的变化类,找到变化规律是解题的关键. 29.(2024春•海淀区校级期中)将1,,,,按右侧方式排列.若规定表示第排从左向右第个数,则所表示的数是 ;与表示的两数之积是 . 【答案】;2. 【考点】规律型:数字的变化类 【专题】推理能力;推理填空题 【分析】表示第7排从左向右第3个数,表示按1,,排列后的第个数,由,得表示按1,,排列后的第4个数,即; 先求表示.同理可得也表示,故与标的两数之积是. 【解答】解:表示第7排从左向右第3个数,表示按1,,排列后的第个数,由,得表示按1,,排列后的第4个数,即. 故答案为:. 表示第5排从左向右第2个数,表示按1,,排列后的第个数,由,得表示按1,,排列后的第2个数,即.同理可得也表示,故与标的两数之积是. 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了数列,解题关键是正确应用找到的规律. 30.(2024春•青羊区校级月考)根据公式(其中为正整数,且.计算 . 【答案】. 【考点】有理数的混合运算;规律型:数字的变化类 【专题】猜想归纳;推理能力 【分析】根据所给公式,将看作公式的一部分即可解决问题. 【解答】解:由题知, , 所以, 则, 所以. 故答案为:. 【点评】本题考查数字变化的规律,能对所给公式中的,,赋予恰当的数值是解题的关键. 31.(2024春•长汀县期中)、、、四人做传数游戏,任报一个数给,把这个数减1传给,再把所得的数平方后传给,把所听到的数加2报出答案. (1)若报的数为21,则的答案是 402 ; (2)设报给的数为,若报出的答案是27,求传给的数是多少? 【答案】(1)402. (2)传给的数是6或. 【考点】列代数式;有理数的混合运算;规律型:数字的变化类 【专题】运算能力;推理能力;规律型;计算题 【分析】(1)根据题意,逐步计算出传给的数,传给的数和报出的答案即可; (2)根据题意可列:,求解即可. 【解答】解:(1)根据题意可知, 报的数为21, 传给的数为:, 传给的数为:, 报出的答案为:, 故答案为:402. (2)根据题意可列:, 即:, 解得:或, 答:传给的数是6或. 【点评】本题考查的是数字的变化规律,列代数式和有理数的混合运算,根据题意正确列出代数式是解题的关键. 32.(2024春•惠山区校级月考)(1)填空: (2)探索(1)中的式子的规律,试写出第个等式,并说明第个等式成立; (3)计算. 【答案】(1);;;;;; (2); (3). 【考点】有理数的混合运算;规律型:数字的变化类 【专题】运算能力;规律型 【分析】(1)根据同底数幂的乘法法则计算; (2)根据(1)的算式得到第个等式; (3)根据,同底数幂的乘法法则计算. 【解答】解:(1) , 故答案为:;;;;;; (2)第个等式为:, 理由如下:; (3) . 【点评】本题考查的是有理数的混合运算,数字的变化规律,正确找出第个等式规律是解题的关键. 33.(2024•霍邱县模拟)观察下列等式: 第1个等式:; 第2个等式:; 第3个等式:; 第4个等式:; 根据以上规律,解决下列问题. (1)直接写出第5个等式: ; (2)写出你猜想的第个等式: (用含的等式表示),并证明. 【答案】(1); (2),证明略. 【考点】有理数的混合运算;列代数式;规律型:数字的变化类 【专题】推理填空题;推理能力 【分析】找到规律,正确表示并证明即可. 【解答】解:(1); (2), 证明:左边, 右边, 左边右边. 故原等式成立. 【点评】本题主要考查了找规律,解题关键是找到规律,正确表示并证明. 34.(2024•合肥一模)观察以下等式: 第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 第5个等式:. 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式: ; (2)写出你猜想的第个等式: (用含的等式表示),并证明. 【答案】(1);(2). 【考点】规律型:数字的变化类;列代数式 【专题】规律型;推理能力 【分析】按照所给的等式,逐项的探究规律,即可解答此题. 【解答】解:(1)第1个等式:, 第2个等式:, 第3个等式:, 第4个等式:, 第5个等式:. 第六个等式为:, 故答案为:; (2)第个等式为:. 故答案为:. 【点评】本题考查了数字的变化规律,观察等式并找到规律是解题关键. 六.规律型:图形的变化类 35.(2024春•长寿区校级期中)下列图形是按照一定规律排列的,其中第①个图形中有3个圆点,第②个图形中有9个圆点,第③个图形中有18个圆点,按此规律排列下去,第⑦个图形中的圆点的个数为 A.80 B.82 C.84 D.86 【答案】 【考点】规律型:图形的变化类 【专题】运算能力;规律型 【分析】根据已知图形找到规律:第个图形中圆点的个数为:.再把代入计算即可. 【解答】解:第①个图形有:个圆点; 第②个图形有:个圆点; 第③个图形有:个圆点; , 可知第个图形有:个圆点, 第⑦个图形有:个圆点. 故选:. 【点评】本题主要考查图形类规律,解题的关键是通过观察图形得出规律. 36.(2024•铜梁区一模)如图、小红用边长为1的等边三角形做镶嵌的探究活动,第①个图案由2个等边三角形组成,第②个图案由6个等边三角形组成,第③个图案由10个等边三角形组成按照这样的规律排列下去,则第⑥个图案中,边长为1的等边三角形的个数为 A.17 B.22 C.27 D.32 【答案】 【考点】规律型:图形的变化类 【专题】计算题;推理能力 【分析】从题目和图形中可得出一般规律:第个图案中所包含的等边三角形的个数为:,再计算即可得出结果. 【解答】解:由题目可知: 第①个图案由2个等边三角形组成,即; 第②个图案由6个等边三角形组成,即; 第③个图案由10个等边三角形组成,即; , 则第个图案中所包含的等边三角形的个数为:, 第⑥个图案中,边长为1的等边三角形的个数为:, 故选:. 【点评】本题考查的是图形的变化规律,从图形中找出等边三角形个数的变化规律是解题的关键. 37.(2024•德化县模拟)如图,中国结寓意着美满团圆,其中间的图案是由小正方形按一定规律组成的,其中第1个图形共有小正方形14个;第2个图形共有小正方形19个;第3个图形共有小正方形24个;;则第20个图形中小正方形的总个数为 A.114 B.109 C.104 D.99 【答案】 【考点】规律型:图形的变化类 【专题】猜想归纳;推理能力 【分析】根据所给图形,依次求出小正方形的个数,发现规律即可解决问题. 【解答】解:由所给图形可知, 第1个图形中小正方形的总个数为:; 第2个图形中小正方形的总个数为:; 第3个图形中小正方形的总个数为:; , 所以第个图形中小正方形的总个数为个, 当时, (个, 即第20个图形中小正方形的总个数为109个. 故选:. 【点评】本题考查图形变化的规律,能根据所给图形发现小正方形的个数依次增加5是解题的关键. 38.(2023秋•婺城区期末)如图,用大小相同的黑白两种小正方形按一定规律摆放,第1个图案中白色小正方形为5个,第2个图案中白色小正方形为8个,,则第2024个图案中白色小正方形的个数为 6074 个. 【答案】6074. 【考点】规律型:图形的变化类 【专题】计算题;推理能力 【分析】根据题意,可以得出规律,第个图案中白色小正方形的个数为:,即可得出结果. 【解答】解:第1个图案中白色小正方形为5个,即, 第2个图案中白色小正方形为8个,即, 第3个图案中白色小正方形为11个,即, 第2024个图案中白色小正方形的个数为:, 故答案为:6074. 【点评】本题考查的是图形的变化规律,从题目中找出图形的变化规律是解题的关键. 39.(2024•安乡县一模)如图,用若干根相同的小木棒拼成图形,拼第1个图形需要6根小木棒,拼第2个图形需要14根小木棒,拼第3个图形需要22根小木棒若按照这样的方法拼成的第2024个图形需要 16190 根小木棒. 【答案】16190. 【考点】规律型:图形的变化类 【专题】运算能力;规律型 【分析】依次求出前面几个图形中小木棒的数量,根据所发现的规律即可解决问题. 【解答】解:根据所给的图形可知, 拼成1个图形需要的小木棒的根数为:; 拼成2个图形需要的小木棒的根数为:; 拼成3个图形需要的小木棒的根数为:; , 所以拼成2024个图形需要的小木棒的根数为:. 故答案为:16190. 【点评】本题考查图形变化的规律,能根据所给图形发现小木棒的根数依次增加8是解题的关键. 40.(2024•淄博模拟)用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按如图的方式铺地面: (1)观察图形,填写下表: 图形 ① ② ③ 黑色瓷砖的块数 4 7 10 黑白两种瓷砖的总块数 9 15 (2)依上推测,第个图形中黑色瓷砖的块数为 ,黑白两种瓷砖的总块数为 (用含的代数式表示); (3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由. 【答案】(1)10,21; (2)块,块; (3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数不可能是2024块,理由见解析过程. 【考点】列代数式;规律型:图形的变化类 【专题】推理能力;猜想归纳 【分析】(1)根据所给图形,数出图中黑色瓷砖块数和黑白两种瓷砖的总块数即可. (2)根据(1)中求出的块数,发现规律即可解决问题. (3)根据(2)中的结论即可解决问题. 【解答】解:(1)由所给图形可知, 第1个图形中黑色瓷砖的块数为:,黑白两种瓷砖的总块数为:; 第2个图形中黑色瓷砖的块数为:,黑白两种瓷砖的总块数为:; 第3个图形中黑色瓷砖的块数为:,黑白两种瓷砖的总块数为:; , 所以第个图形中黑色瓷砖的块数为块,黑白两种瓷砖的总块数为块; 故答案为:10,21. (2)根据(1)发现的规律可知, 第个图形中黑色瓷砖的块数为块,黑白两种瓷砖的总块数为块; 故答案为:块,块. (3)不可能. 令, 解得, 又因为为正整数, 所以白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数不可能是2024块. 【点评】本题考查图形变化的规律,能根据所给图形发现黑色瓷砖的块数依次增加3,黑白瓷砖的总块数依次增加6是解题的关键. 七.多项式 41.(2024春•海淀区校级期中)在代数式,,,,,中,单项式的个数是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】 【考点】单项式;多项式 【专题】整式;符号意识 【分析】根据单项式是数与字母的积,单独一个数或字母也是单项式,几个单项式的和是多项式,对所给代数式进行判断,从而得到答案即可. 【解答】解:,,,是单项式,是多项式,是分式, 单项式的个数是:4, 故选:. 【点评】本题主要考查了单项式和多项式,解题关键是熟练掌握多项式和多项式的定义. 八.整式的加减 42.(2024春•重庆期中)已知有序整式串:,,对其进行如下操作: 第1次操作:用第一个整式减去第二个整式得到一个整式,将得到的整式作为新整式串的第一项,即得到新的整式串:,,; 第2次操作:用第一个整式减去第二个整式得到一个整式,将得到的整式作为新整式串的第一项,即得到新的整式串:,,,; 依次进行操作.下列说法: ①第3次操作后得到的整式串为:,,,,; ②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等; ③第2024次操作后得到的整式串各项之和为. 其中正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】 【考点】整式的加减 【专题】规律型;整式;运算能力;推理能力 【分析】按照题中规律向后推算,找到其规律是每6次变化一循环,再求出相应的次数的结果即可解题. 【解答】解:第3次操作后得到的整式串为:,,,,,故①正确; 第1次操作后得到的整式为:, 第2次操作后得到的整式为:, 第3次操作后得到的整式为:, 第4次操作后得到的整式为:, 第5次操作后得到的整式为:, 第6次操作后得到的整式为:, 第7次操作后得到的整式为:,. 得到的整式每6次一循环, ,, 第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式不相等,故②错误; 第1次操作后得到的整式串各项之和为:, 第2次操作后得到的整式串各项之和为:, 第3次操作后得到的整式串各项之和为:, 第4次操作后得到的整式串各项之和为:0, 第5次操作后得到的整式串各项之和为:, 第6次操作后得到的整式串各项之和为:, 第7次操作后得到的整式串各项之和为:,. 得到的整式串各项之和每6次一循环, , 第2024次操作后得到的整式串各项之和为:,故③正确. 故选:. 【点评】本题考查了整式加减,找到题中整式的变化规律是解题关键. 43.(2024春•南岗区校级期中)下列运算中,正确的是 A. B. C. D. 【答案】 【考点】整式的加减 【专题】整式;运算能力 【分析】根据整式加减的计算法则来进行判断即可. 【解答】解:项,,故项不符合题意; 项,,故项符合题意; 项,不能合并同类项,故项不符合题意; 项,,故项不符合题意, 故选:. 【点评】本题考查了整式的加减,解题的关键是根据整式加减的计算法则来解答. 44.(2024春•渝北区校级月考)一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0,若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和,则称这个四位数为“等和数”.将“等和数” 的千位数字与百位数字对调,十位数字与个位数字对调得到一个新的四位数.若能被9整除,则 9 ,在此条件下,若为整数,则满足条件的的和为 . 【答案】(1)9; (2)35451. 【考点】整式的加减 【专题】计算题;运算能力 【分析】由“博雅数”的定义得,故,由能被9整除,得.计算,故能被13整除,代入,计算得能被13整除,故.然后用列举法得到6个符合题意得6个数,再计算即可. 【解答】解:, , 根据“博雅数”的定义得, 故, 能被9整除, 能被9整除, . 故答案为:9. 能被13整除, 能被13整除, , 能被13整除, . 当时,,故,,故这个数是3186. 当时,,故,,故这个数是4275. 当时,,故,,故这个数是5364. 当时,,故,,故这个数是6453. 当时,,故,,故这个数是7542. 当时,,故,,故这个数是8631. 故这6个数的和为数是. 故答案为:35451. 【点评】本题考查了整式的加减,列出代数式并正确计算是解题关键. 45.(2024春•梁平区期中)若一个两位数满足,其中、均为正整数,则称为好数,那么最大的好数是 99 ;若、同时还满足或4,则称为绝对好数,那么绝对好数的个数为 . 【答案】99;4. 【考点】整式的加减 【专题】新定义;推理能力 【分析】(1)根据题意可得,再根据判断出的取值范围,并且是合数,即可得出答案; (2)若 ,整理得,由于,都是正整数,那么和都是9的因数,讨论9的因数的情况,求出对应的,的值,代入计算即可, 同理 【解答】解:①, , ,, ,即, 是合数, 又, ,且是合数, 的最大值为100, 的最大值为99; ②若,则,整理得 . ,都是正整数, 或或, 或或, 或48; 若,则,整理得 . ,都是正整数, 或或或或, 或或或或, (舍或90或80. 综上,绝对好数分别为48,64,80,90,共4个, 故答案为:4. 【点评】本题考查了新定义,判断出是合数和取值范围是解题的关键. 46.(2024春•鹿城区校级期中)关于的整式,它的各项系数之和为:(常数项系数为常数项本身).已知是关于的整式,最高次项次数为2,系数为1,若,是一个只含两项的多项式,则各项系数之和的最大值为 1 . 【答案】1. 【考点】整式;整式的加减 【专题】整式;运算能力 【分析】由题意可得:是一个单项式,从而可确定为,从而可求解. 【解答】解:,是一个只含两项的多项式, 是一个单项式, 是关于的整式,最高次项次数为2,系数为1, , 各项系数之和的最大值为:1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查整式的加减,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 47.(2024春•长寿区校级期中)如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0,满足,则称该四位数为“和百数”.例如:四位数3268,,是“和百数”;又如四位数4367,,不是“和百数”.若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除,则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是 6534 . 【答案】6534. 【考点】整式的加减 【专题】整式;推理能力;运算能力 【分析】根据题意,可知 是整数,求得,求出满足条件时最大、最小值,求差即可. 【解答】解:是“和百数”, , , 一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除, 是整数, 各数位上的数字均不为0, , , 当,时,(不符合题意,舍去), 当,时,, 即, ,, 此为满足条件时最大值8713, 当,时,, 即, ,, 此为满足条件时最小值2179, , 故答案为:6534. 【点评】本题考查整式的加减,掌握新定义运算是解题的关键. 48.(2024•裕华区校级二模)定义:,,为实数,若,则称与是关于的对称数. (1)2与4是关于 3 的对称数,与 是关于3的对称数; (2)若,,且与是关于的对称数,试求出的值. 【答案】(1)3;; (2). 【考点】整式的加减 【专题】新定义;运算能力;整式 【分析】(1)根据对称数的定义进行求解即可; (2)根据对称数的定义进行求解即可. 【解答】解:(1),, 与4是关于3的对称数; 由题意得: , 与是关于3的对称数; 故答案为:3;; (2),,且与是关于的对称数, , , , . 【点评】本题主要考查整式的加减,新定义,解答的关键是对相应的运算法则的掌握. 49.(2024春•南岗区校级期中)化简 (1); (2); (3); (4). 【答案】(1); (2); (3); (4). 【考点】整式的加减 【专题】运算能力;计算题 【分析】(1)根据整式的混合运算法则计算即可. (2)根据整式的混合运算法则计算即可. (3)根据整式的混合运算法则计算即可. (4)根据整式的混合运算法则计算即可. 【解答】解:(1) ; (2) ; (3) ; (4) . 【点评】本题考查的是整式的加减,熟练掌握其运算法则是解题的关键. 九.整式的加减—化简求值 50.(2023秋•台州期末)先化简,再求值:,其中,. 【答案】,1. 【考点】整式的加减—化简求值 【专题】整式;运算能力 【分析】直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再将已知数据代入求出答案即可. 【解答】解: , 当,时,原式. 【点评】此题主要考查了整式的混合运算,直接利用多项式乘法去括号,进而合并同类项,再将已知数据代入求出答案是解题关键. 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $$