湖南省长沙市南雅中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（5月）数学试题

数学试题 第 1 页 共 4 页 南雅中学 2024 年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120 分钟 分值：150 分 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合𝐴 = {𝑥| − 𝑥2 + 𝑥 ≥ 0}，𝐵 = {𝑥|𝑥 − 1 < 0}，则𝐴 ∪ 𝐵 =( ) A. {𝒙|𝒙 ≤ 𝟏} B. {𝑥|𝑥 < 1} C. {𝑥|0 ≤ 𝑥 < 1} D. {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 1} 2、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是( ) A. 𝑓(𝑥) = 𝑥2−2 𝑥− 2 与𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 B. 𝑓(𝑥) = 1 2 log3𝑥 2与𝑔(𝑥) = log3𝑥 C. 𝑓(𝑥) = 𝑥2与𝑔(𝑥) = 𝑥 D. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 3 与𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 3、已知复数 z 满足  1 2i 5z   ，则复数 z 的虚部为（ ） A． 2 B．5 C． 2i D．2 4、已知函数    cos 2f x x   ，则“ π π 2 k   ， kZ”是“  f x 为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B． 充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5、设𝑎 = log0.60.8，𝑏 = 1.1 0.8，𝑐 = log1.10.8，则( ) A. 𝑏 < 𝑎 < 𝑐 B. 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 C. 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 D. 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 6、一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色 为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有( ) A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 7、已知 、 ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8、某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改 良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 32.21g/m ，第 n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 nr 满足函数模型 0.25 0 1 0( ) 3 n t nr r r r     （ tR， *nN ），其中 0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的 0a  0b  1 : ( 4) 1 0l x a y    2 : 2 2 0l bx y   1 2l l 1 1 1 2a b   2 4 2 5 4 5 数学试题 第 2 页 共 4 页 污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 30.65g/m 时符合废水排放标准，若 该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48 ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9、下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A．这 10 年粮食年产量的极差为 16 B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35 C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7 D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差 10、若长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面是边长为2的正方形，高为4，𝐸是𝐷𝐷1的中点， 则( ) A. 𝐵1𝐸 ⊥ 𝐴1𝐵 B. 平面𝐵1𝐶𝐸//平面𝐴1𝐵𝐷 C. 三棱锥𝐶1 − 𝐵1𝐶𝐸的体积为 8 3 D. 三棱锥𝐶1 − 𝐵1𝐶𝐷1的外接球的表面积为24𝜋 11、已知函数 ( )f x 的定义域为 R ，且 x R ，都有 ( 3 ) ( 1 ) 0f x f x      ， 3 1 2 2 f x f x                 ， ( 5) 2f    ， 7 3 2 4 f        ，当 [ 1,0]x  时， ( )f x  2ax bx ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于点 ( 2,0) 对称 B． (1) 2f  C． (2023) (2024) (2025) 2f f f   D．函数 ( )f x 与函数 | ln | ||y x 的图象有 8 个不同的公共点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12、在长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，底面 ABCD为正方形， 1 2AA  ，其外接球的体积为36π，则此长方体的 表面积为 。 数学试题 第 3 页 共 4 页 13、已知函数 2 2 , 1 ( ) (3 ) 2, 1 x ax x f x a x x         是定义在R 上的增函数，则a的取值范围是 。 14、有序实数组   *1 2, , , nx x x n   N 称为n 维向量， 1 2 nx x x   为该向量的范数，范数在度量向 量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量  1 2, , , na x x x   ，其中  0,1,2 , 1,2, ,ix i n   ．记 范数为奇数的a  的个数为 nA ，则 4A  ______； 2 1nA  ____ __．（用含n 的式子表示） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、在△ 𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，向量𝑚 = (𝑎, 3𝑏)，𝑛 = (𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐵)，且𝑚 // 𝑛 ． (1)求角𝐴； (2)若𝑎 = 7，𝑏 = 2，求△ 𝐴𝐵𝐶的面积． 16、已知函数   1 1 3 3 x x f x a     是定义域为R 的偶函数. （1）求 a的值； （2）若     29 9 1x xg x mf x m     ，求函数  g x 的最小值. 17、设椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左右顶点分别为 1 2,A A ，左右焦点 1 2,F F ．已知 1 2 3A F  ， 2 2 1A F  ． （1）求椭圆方程． （2）若斜率为 1的直线 l交椭圆于 A，B 两点，与以 1 2,F F 为直径的圆交于 C，D两点．若 12 2 7 AB CD ， 求直线 l的方程． 18、 “南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规 模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布 𝑁(32,16)． (1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20𝑔的牡蛎的可能性有多大？ (2)2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量𝑥(人)与年收益增量𝑦(万元)的数据如下： 人工投入增量𝑥(人) 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量𝑦(万元) 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了𝑦与𝑥的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得𝑦与𝑥的线性回归方程：𝑦 = 4.1𝑥 + 11.8； 数学试题 第 4 页 共 4 页 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 的附近，对人工投入增量𝑥做 变换，令𝑡 = 𝑥，则𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑡 + 𝑎 ，且有 t = 2.5, y = 38.9,   7 1 ( i 𝑡𝑖 − t )(𝑦𝑖 − y ) = 81.0,   7 1 ( i 𝑡𝑖 − t ) 2 = 3.8． (𝑖)根据所给的统计量，求模型②中𝑦关于𝑥的回归方程(精确到0.1)； (𝑖𝑖)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数𝑅2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工 投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 𝑦 = 4.1𝑥 + 11.8 𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 ( 7 𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖) 2 182.4 79.2 附：若随机变量𝑍～𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑍 < 𝜇 + 3𝜎) = 0.9974，0.998710 ≈ 0.9871；样本(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, … , 𝑛)的最小二乘估计公式为：𝑏 =   n i 1 ( 𝑡𝑖− t )(𝑦𝑖− y )   n i 1 ( 𝑡𝑖− t ) 2 , 𝑎 = y − 𝑏 x ， R2＝1         n i i n i i yy yy 1 2 1 2 )( )( . 19、已知数列   1 2: , , , 3n Na a a a N  的各项均为正整数，设集合  ,1j iT x x a a i j N     ∣ ， 记 T的元素个数为  P T ． （1）若数列  :1,3, ,na x y，且3 x y  ，   3P T  ，求数列 na 和集合 T； （2）若 na 是递增的等差数列，求 )(TP 的最大值（用 N表示），并说明理由； （3）请你判断  P T 是否存在最大值，并说明理由。 数学试题 第 1 页 共 4 页 南雅中学 2024 年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120 分钟 分值：150 分 命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合𝐴 = {𝑥| − 𝑥2 + 𝑥 ≥ 0}，𝐵 = {𝑥|𝑥 − 1 < 0}，则𝐴 ∪ 𝐵 =( ) A. {𝒙|𝒙 ≤ 𝟏} B. {𝑥|𝑥 < 1} C. {𝑥|0 ≤ 𝑥 < 1} D. {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 1} 2、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是( ) A. 𝑓(𝑥) = 𝑥2−2 𝑥− 2 与𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 B. 𝑓(𝑥) = 1 2 log3𝑥 2与𝑔(𝑥) = log3𝑥 C. 𝑓(𝑥) = 𝑥2与𝑔(𝑥) = 𝑥 D. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 3 与𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 3、已知复数 z 满足  1 2i 5z   ，则复数 z 的虚部为（ ） A． 2 B．5 C． 2i D．2 4、已知函数    cos 2f x x   ，则“ π π 2 k   ， kZ”是“  f x 为奇函数”的（ ） A．充分不必要条件 B． 充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5、设𝑎 = log0.60.8，𝑏 = 1.1 0.8，𝑐 = log1.10.8，则( ) A. 𝑏 < 𝑎 < 𝑐 B. 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 C. 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 D. 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 6、一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色 为止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有( ) A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 7、已知 、 ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8、某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改 良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 32.21g/m ，第 n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 nr 满足函数模型 0.25 0 1 0( ) 3 n t nr r r r     （ tR， *nN ），其中 0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的 0a  0b  1 : ( 4) 1 0l x a y    2 : 2 2 0l bx y   1 2l l 1 1 1 2a b   2 4 2 5 4 5 数学试题 第 2 页 共 4 页 污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 30.65g/m 时符合废水排放标准，若 该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48 ） A．12 B．13 C．14 D．15 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9、下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A．这 10 年粮食年产量的极差为 16 B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35 C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7 D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差 10、若长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面是边长为2的正方形，高为4，𝐸是𝐷𝐷1的中点， 则( ) A. 𝐵1𝐸 ⊥ 𝐴1𝐵 B. 平面𝐵1𝐶𝐸//平面𝐴1𝐵𝐷 C. 三棱锥𝐶1 − 𝐵1𝐶𝐸的体积为 8 3 D. 三棱锥𝐶1 − 𝐵1𝐶𝐷1的外接球的表面积为24𝜋 11、已知函数 ( )f x 的定义域为 R ，且 x R ，都有 ( 3 ) ( 1 ) 0f x f x      ， 3 1 2 2 f x f x                 ， ( 5) 2f    ， 7 3 2 4 f        ，当 [ 1,0]x  时， ( )f x  2ax bx ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于点 ( 2,0) 对称 B． (1) 2f  C． (2023) (2024) (2025) 2f f f   D．函数 ( )f x 与函数 | ln | ||y x 的图象有 8 个不同的公共点 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12、在长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，底面 ABCD为正方形， 1 2AA  ，其外接球的体积为36π，则此长方体的 表面积为 。 数学试题 第 3 页 共 4 页 13、已知函数 2 2 , 1 ( ) (3 ) 2, 1 x ax x f x a x x         是定义在R 上的增函数，则a的取值范围是 。 14、有序实数组   *1 2, , , nx x x n   N 称为n 维向量， 1 2 nx x x   为该向量的范数，范数在度量向 量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量  1 2, , , na x x x   ，其中  0,1,2 , 1,2, ,ix i n   ．记 范数为奇数的a  的个数为 nA ，则 4A  ______； 2 1nA  ____ __．（用含n 的式子表示） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15、在△ 𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，向量𝑚 = (𝑎, 3𝑏)，𝑛 = (𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐵)，且𝑚 // 𝑛 ． (1)求角𝐴； (2)若𝑎 = 7，𝑏 = 2，求△ 𝐴𝐵𝐶的面积． 16、已知函数   1 1 3 3 x x f x a     是定义域为R 的偶函数. （1）求 a的值； （2）若     29 9 1x xg x mf x m     ，其中m为参数，求函数  g x 的最小值. 17、设椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左右顶点分别为 1 2,A A ，左右焦点 1 2,F F ．已知 1 2 3A F  ， 2 2 1A F  ． （1）求椭圆方程． （2）若斜率为 1的直线 l交椭圆于 A，B 两点，与以 1 2,F F 为直径的圆交于 C，D两点．若 12 2 7 AB CD ， 求直线 l的方程． 18、 “南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规 模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布 𝑁(32,16)． (1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20𝑔的牡蛎的可能性有多大？ (2)2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量𝑥(人)与年收益增量𝑦(万元)的数据如下： 人工投入增量𝑥(人) 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量𝑦(万元) 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了𝑦与𝑥的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得𝑦与𝑥的线性回归方程：𝑦 = 4.1𝑥 + 11.8； 数学试题 第 4 页 共 4 页 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 的附近，对人工投入增量𝑥做 变换，令𝑡 = 𝑥，则𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑡 + 𝑎 ，且有 t = 2.5, y = 38.9,   7 1 ( i 𝑡𝑖 − t )(𝑦𝑖 − y ) = 81.0,   7 1 ( i 𝑡𝑖 − t ) 2 = 3.8． (𝑖)根据所给的统计量，求模型②中𝑦关于𝑥的回归方程(精确到0.1)； (𝑖𝑖)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数𝑅2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工 投入增量为16人时的年收益增量． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 𝑦 = 4.1𝑥 + 11.8 𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 ( 7 𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖) 2 182.4 79.2 附：若随机变量𝑍～𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑍 < 𝜇 + 3𝜎) = 0.9974，0.998710 ≈ 0.9871；样本(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, … , 𝑛)的最小二乘估计公式为：𝑏 =   n i 1 ( 𝑡𝑖− t )(𝑦𝑖− y )   n i 1 ( 𝑡𝑖− t ) 2 , 𝑎 = y − 𝑏 x ， R2＝1         n i i n i i yy yy 1 2 1 2 )( )( . 19、已知数列   1 2: , , , 3n Na a a a N  的各项均为正整数，设集合  ,1j iT x x a a i j N     ∣ ， 记 T的元素个数为  P T ． （1）若数列  :1,3, ,na x y，且3 x y  ，   3P T  ，求数列 na 和集合 T； （2）若 na 是递增的等差数列，求 )(TP 的值（用 N表示），并说明理由； （3）请你判断  P T 是否存在最大值，并说明理由 数学试题 第 5 页 共 4 页 南雅中学 2024 年上期第二次月考试题 高二数学 时量：120 分钟 分值：150 分 命题人：黄知清 审题人：刘德志、邓佩君 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合𝐴 = {𝑥| − 𝑥2 + 𝑥 ≥ 0}，𝐵 = {𝑥|𝑥 − 1 < 0}，则𝐴 ∪ 𝐵 =( ) A. {𝒙|𝒙 ≤ 𝟏} B. {𝑥|𝑥 < 1} C. {𝑥|0 ≤ 𝑥 < 1} D. {𝑥|0 ≤ 𝑥 ≤ 1} 答案：A 2、下列各组函数中，两个函数表示同一个函数的是( ) A. 𝑓(𝑥) = 𝑥2−2 𝑥− 2 与𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 B. 𝑓(𝑥) = 1 2 log3𝑥 2与𝑔(𝑥) = log3𝑥 C. 𝑓(𝑥) = 𝑥2与𝑔(𝑥) = 𝑥 D. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 3 与𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 【答案】𝐷 3．已知复数 z 满足  1 2i 5z   ，则复数 z 的虚部为（ ） A． 2 B．5 C． 2i D．2 【答案】A 4．已知函数    cos 2f x x   ，则“ π π 2 k   ， kZ”是“  f x 为偶函数”的（） A．充分不必要条件 B． 充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 5.设𝑎 = log0.60.8，𝑏 = 1.1 0.8，𝑐 = log1.10.8，则( ) A. 𝑏 < 𝑎 < 𝑐 B. 𝑐 < 𝑏 < 𝑎 C. 𝑐 < 𝑎 < 𝑏 D. 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 【答案】𝐶 6.一个暗箱中装有若干个大小相同的红球、白球和黑球，每次从中摸出1个球，直到摸出的球有三种颜色为 止，若小明第4次摸球后终止摸球，则他摸球的情形有( ) A. 9种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】𝐶 数学试题 第 6 页 共 4 页 7.已知 、 ，直线 ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为 、 ，直线 ， ，且 ， 所以 ，即 ，所以 ，所以 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时，取等号，所以 的最小值为 ，故选：D 8、某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少．已知改 良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为 32.25g/m ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为 32.21g/m ，第 n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 nr 满足函数模型 0.25 0 1 0( ) 3 n t nr r r r     （ tR， *nN ），其中 0r 为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量， 1r 为首次改良工艺后排放的废水中含有的 污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超过 30.65g/m 时符合废水排放标准，若 该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）（参考数据： lg 2 0.30 ， lg3 0.48 ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9．下图为某地 2014 年至 2023 年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（ ） A．这 10 年粮食年产量的极差为 16 B．这 10 年粮食年产量的第 70 百分位数为 35 C．这 10 年粮食年产量的平均数为 33.7 0a  0b  1 : ( 4) 1 0l x a y    2 : 2 2 0l bx y   1 2l l 1 1 1 2a b   2 4 2 5 4 5 0a  0b  1 : ( 4) 1 0l x a y    2 : 2 2 0l bx y   1 2l l 2 4 0b a   2 4a b  ( 1) 2 5a b     1 ( 1) 2 1 5 a b     1 1 1 1 1 ( 1) 2 1 2 5 1 2 a b a b a b            1 1 2 2 5 2 1 a b b a            1 1 2 4 2 2 5 2 1 5 a b b a          1 2 2 1 a b b a    3 5 , 2 4 a b  1 1 1 2a b   4 5 数学试题 第 7 页 共 4 页 D．前 5 年的粮食年产量的方差小于后 5 年粮食年产量的方差 答案：ACD 10.若长方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的底面是边长为2的正方形，高为4，𝐸是𝐷𝐷1的中点， 则( ) A. 𝐵1𝐸 ⊥ 𝐴1𝐵 B. 平面𝐵1𝐶𝐸//平面𝐴1𝐵𝐷 C. 三棱锥𝐶1 − 𝐵1𝐶𝐸的体积为 8 3 D. 三棱锥𝐶1 − 𝐵1𝐶𝐷1的外接球的表面积为24𝜋 【答案】𝐶𝐷 11、已知函数 ( )f x 的定义域为R，且 x R，都有 ( 3 ) ( 1 ) 0f x f x      ， 3 1 2 2 f x f x                 ， ( 5) 2f    ， 7 3 2 4 f        ，当 [ 1,0]x  时， ( )f x  2ax bx ，则下列说法正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图象关于点 ( 2,0) 对称 B． (1) 2f  C． (2023) (2024) (2025) 2f f f   D．函数 ( )f x 与函数 | ln | ||y x 的图象有 8 个不同的公共点 【答案】ABD 【解析】由 ( 3 ) ( 1 ) 0f x f x      得函数 ( )f x 关于  2,0 对称，A 正确； 由 3 1 2 2 f x f x                 得函数 ( )f x 关于 = 1x  对称， 所以 ( 4 ) ( ) 0f x f x     ，    2f x f x    ， 所以 ( 4) ( 2) 0f x f x    ，即 ( ) ( 2) 0f x f x   ， 所以      2 4f x f x f x     ，故函数 ( )f x 的周期为4， 由 ( 5) 2f    知 ( 1) 2f    ， 7 1 3 2 2 4 f f                ， 又 [ 1,0]x  时， 2( )f x ax bx  ，所以 2 1 1 3 4 2 4 a b a b          ，解得 1 1 a b     ， 所以 [ 1,0]x  时， 2( )f x x x   ， 所以    1 1 2f f    ，B 正确；      (2023) (2024) (2025) 1 0 1 0f f f f f f       ，C 错误； 数学试题 第 8 页 共 4 页 画出函数 ( )f x 和函数 | ln | ||y x 的图象，如图：  ln 7 || ln 7 2 7f     ，观察图象可得函数 ( )f x 与函数 | ln | ||y x 的图像有 8 个不同的公共点，D 正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12．在长方体 1 1 1 1ABCD A BC D 中，底面 ABCD为正方形， 1 2AA  ，其外接球的体积为36π，则此长方体的 表面积为 【答案】64 13． 已知函数 2 2 , 1 ( ) (3 ) 2, 1 x ax x f x a x x         是定义在 R 上的增函数，则a 的取值范围是 。 【答案】  1,2 14、有序实数组   *1 2, , , nx x x n   N 称为n 维向量， 1 2 nx x x   为该向量的范数，范数在度量向 量的长度和大小方面有着重要的作用．已知n 维向量  1 2, , , na x x x   ，其中  0,1,2 , 1,2, ,ix i n   ．记 范数为奇数的a  的个数为 nA ，则 4A  ______； 2 1nA   ______．（用含n 的式子表示） 【答案】 ①. 40 ②. 2 13 1 2 n  （第 1 空 2 分，第 2 空 3 分） 【详解】根据乘法原理和加法原理得到 1 3 3 4 4 4C 2 C 2 40A      ． 奇数维向量，范数为奇数，则 1ix  的个数为奇数，即 1 的个数为 1，3，5，…，2 1n + ， 根据乘法原理和加法原理得到 1 2 3 2 2 5 2 4 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1C 2 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n n nA            L ， 2 1 2 1 0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 13 (2 1) C 2 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n n n n               L 2 1 0 2 1 1 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 2 1 2 11 (2 1) C 2 C 2 C 2 C 2 n n n n n n n n n              L 两式相减得到 2 1 2 1 3 1 2 n nA     . 故答案为：2； 2 13 1 2 n  . 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 数学试题 第 9 页 共 4 页 15、在△ 𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，向量𝑚 = (𝑎, 3𝑏)，𝑛 = (𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐵)，且𝑚 // 𝑛 ． (1)求角𝐴；(6分) (2)若𝑎 = 7，𝑏 = 2，求△ 𝐴𝐵𝐶的面积．(7分) 【答案】解：(1)因为向量𝑚 = (𝑎, 3𝑏), 𝑛 = (𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑠𝑖𝑛𝐵)，且𝑚 // 𝑛 ， 所以𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵 − 3𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴 = 0，由正弦定理得𝑠𝑖𝑛𝐴𝑠𝑖𝑛𝐵 − 3𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴 = 0， 又因为𝑠𝑖𝑛𝐵 ≠ 0，所以𝑡𝑎𝑛𝐴 = 3，因为𝐴 ∈ (0, 𝜋)，所以𝐴 = 𝜋 3 ； (2)由余弦定理得𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴，因为𝑎 = 7, 𝑏 = 2， 所以7 = 4 + 𝑐2 − 2𝑐，即𝑐2 − 2𝑐 − 3 = 0因为𝑐 > 0，所以𝑐 = 3， 故△ 𝐴𝐵𝐶的面积为𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 1 2 𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛𝐴 = 3 3 2 ． 16、已知函数   1 1 3 3 x x f x a     是定义域为 R 的偶函数. （1）求 a 的值；(5分) （2）若     29 9 1x xg x mf x m     ，求函数  g x 的最小值. (10分) 【答案】（1）3；（2） 2 min 2 5 4 3, 4 3 ( ) 4 6 1, 3 m m g x m m m              【解析】（1）   1 1 3 3 3 3 3 x x x x f x a a          ，则   3 3 3x xf x a      ， 因为 ( )f x 是定义域为 R 的偶函数，则 3 3 3 3 3 3x x x xa a        ， 即   3 3 3 0x xa    对任意 xR 恒成立，则 3a  ； （2）由（1）知，  ( ) 3 3 3x xf x   则    2 2 23 3 3 3 3 1x x x xg x m m           2 23 3 3 2 2 3x x x xm m       ， 令 3 3x xt   ，由基本不等式可得 2t  ，当且仅当 0x  时等号成立， 则原函数化为： 2 2( ) 3 3h t t mt m    ，  2,t  ， ①当 2 3 2 m   即 4 3 m   时， 2 2( ) 3 3h t t mt m    在 2, 上单调递增， 则 2 min( ) (2) 6 1h t h m m    ，即   2 min 6 1g mx m   ，； ②当 2 3 2 m   ，即 4 3 m   时， 2 2( ) 3 3h t t mt m    在 3 2, 2 m      单调递减，在 , 3 2 m       单调递增， 数学试题 第 10 页 共 4 页 则 2 2 2 min 3 3 3 5 ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 4 m m h t h m m m m                        ；即   2 min 5 3 4 g x m   ， 综上所述， 2 min 2 5 4 3, 4 3 ( ) 4 6 1, 3 m m g x m m m              . 17、设椭圆   2 2 2 2 1 0 x y a b a b     的左右顶点分别为 1 2,A A ，左右焦点 1 2,F F ．已知 1 2 3A F  ， 2 2 1A F  ． （1）求椭圆方程．(5分) （2）若斜率为 1 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，与以 1 2,F F 为直径的圆交于 C，D 两点．若 12 2 7 AB CD ， 求直线 l 的方程．(10分) 【解析】（1）由题意， 1 2 3A F a c   ， 2 2 1A F a c   ， 解得 2a  ， 1c  ， 2 2 2 3b a c    ， 所以椭圆方程为 2 2 1 4 3 x y   ． （2）设直线 l 为 y x m  ，  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 由题意，以 1 2F F 为直径的圆的方程为 2 2 1x y  ， 则圆心到直线 l 的距离 1 2 m d   ，即 2 2m  ， 所以 2 2 22 1 2 1 2 2 2 m CD d m             ， 由 2 2 1 4 3 y x m x y        ，消去 y ，整理得 2 27 8 4 12 0x mx m    ， 0  ，解得 2 7m  ，又 2 2m  ，所以 2 2m  ， 1 2 8 7 m x x   ， 2 1 2 4 12 7 m x x   ，   2 22 2 1 2 1 2 1 2 4 6 7 1 1 4 7 m AB k x x k x x x x             ， 因为 12 2 7 AB CD ，所以 2 24 6 7 12 2 2 2 7 7 m m       ，解得 2 1m  ， 又 2 2m  ，所以 1m   ， 所以直线 l 的方程为： 1y x  或 1y x  ． 18、“南澳牡蛎”是我国地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉.根据养殖规 模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量(克)在正常环境下服从正态分布 𝑁(32,16)． (1)购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20𝑔的牡蛎的可能性有多大？(6分) 数学试题 第 11 页 共 4 页 (2)2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量𝑥(人)与年收益增量𝑦(万元)的数据如下： 人工投入增量𝑥(人) 2 3 4 6 8 10 13 年收益增量𝑦(万元) 13 22 31 42 50 56 58 该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了𝑦与𝑥的两个回归模型： 模型①：由最小二乘公式可求得𝑦与𝑥的线性回归方程：𝑦 = 4.1𝑥 + 11.8； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 的附近，对人工投入增量𝑥做 变换，令𝑡 = 𝑥，则𝑦 = 𝑏 ⋅ 𝑡 + 𝑎 ，且有 t = 2.5, y = 38.9,   7 1 ( i 𝑡𝑖 − t )(𝑦𝑖 − y ) = 81.0,   7 1 ( i 𝑡𝑖 − t ) 2 = 3.8． (𝑖)根据所给的统计量，求模型②中𝑦关于𝑥的回归方程(精确到0.1)；(5分) (𝑖𝑖)根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数𝑅2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工 投入增量为16人时的年收益增量．(6分) 回归模型 模型① 模型② 回归方程 𝑦 = 4.1𝑥 + 11.8 𝑦 = 𝑏 𝑥 + 𝑎 ( 7 𝑖=1 𝑦𝑖 − 𝑦 𝑖) 2 182.4 79.2 附：若随机变量𝑍～𝑁(𝜇, 𝜎2)，则𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑍 < 𝜇 + 3𝜎) = 0.9974，0.998710 ≈ 0.9871； 样本(𝑡𝑖 , 𝑦𝑖)(𝑖 = 1,2, … , 𝑛)的最小二乘估计公式为：𝑏 = (𝑛𝑖=1 𝑡𝑖− t )(𝑦𝑖− y ) (𝑛𝑖=1 𝑡𝑖− t ) 2 , 𝑎 = y − 𝑏 x ，R2＝1         n i i n i i yy yy 1 2 1 2 )( )( . 【答案】解：(1)由已知，单个“南澳牡蛎”质量𝜉～(32,16)，则𝜇 = 32，𝜎 = 4， 数学试题 第 12 页 共 4 页 由正态分布的对称性可知， 𝑃(𝜉 < 20) = 1 2 [1 − 𝑃(20 < 𝜉 < 44)] = 1 2 [1 − 𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝜉 < 𝜇 + 3𝜎)] = 1 2 (1 − 0.9974) = 0.0013， 设购买10只该基地的“南澳牡蛎”，其中质量小于20𝑔的牡蛎为𝑋只，故𝑋～𝐵(10,0.0013)， 故𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − (1 − 0.0013)2 = 1 − 0.9871 = 0.0129， 所以这10只“南澳牡蛎”中，会买到质量小于20𝑔的牡蛎的可能性仅为1.29%． (2)(𝑖)由𝑡 − = 2.5，𝑦 − = 38.9， (7𝑖=1 𝑡 − 𝑡 − )(𝑦𝑖 − 𝑦 − ) = 81.0， (7𝑖=1 𝑡 − 𝑡 − )2 = 3.8， 有𝑏 = (7𝑖=1 𝑡−𝑡 − )(𝑦𝑖−𝑦 − ) (7𝑖=1 𝑡−𝑡 − ) 2 = 81.0 3.8 ≈ 21.3， 且𝑎 = 𝑦 − − 𝑏 𝑥 − = 38.9 − 21.3 × 2.5 ≈ −14.4，所以，模型②中𝑦关于𝑥的回归方程为𝑦 = 21.3 𝑥 − 14.4． (𝑖𝑖)由表格中的数据，有182.4 > 79.2，即 182.4 (7𝑖=1 𝑦𝑖−𝑦 − ) 2 > 79.2 (7𝑖=1 𝑦𝑖−𝑦 − ) 2模型①的小于𝑅 2模型②，说明回归模型② 刻画的拟合效果更好． 当𝑋 = 16时，模型②的收益增量的预测值为𝑦 = 21.3 × 16 − 14.4 = 70.8(万元)， 这个结果比模型①的预测精度更高、更可靠． 19、已知数列   1 2: , , , 3n Na a a a N  的各项均为正整数，设集合  ,1j iT x x a a i j N     ∣ ， 记 T的元素个数为  P T ． （1）若数列  :1,3, ,na x y，且3 x y  ，   3P T  ，求数列 na 和集合 T；(6分) （2）若 na 是递增的等差数列，求 )(TP 的值（用 N表示），并说明理由；(5分) （3）请你判断  P T 是否存在最大值，并说明理由。(6分) 【答案】（1）   :1,3,5,7, 2,4,6na T  ； （2）证明见解析；（3）存在，理由见解析.(只有结论，没任何举例说明得半分) 【小问 1 详解】 由  :1,3, ,na x y，且3 x y  ，得3 1 2  ， 1, 1x y  均不相等， 则 2, 1, 1x y  都是集合 T中的元素，而 ( ) 3P T  ， 于是 3 2x y x    ，解得 5, 7x y  ， 所以数列   :1,3,5,7, 2,4,6na T  ． 【小问 2 详解】 数学试题 第 13 页 共 4 页 因为 na 为递增的等差数列，设 na 的公差为 ( 0)d d  ， 当1 i j N   时， ( )ija a j i d   ，则 { ,2 ,3 , ,( 1) }T d d d N d  ， 所以 ( ) 1P T N  ． 【小问 3 详解】 ( )P T 存在最大值，理由如下: 依题意，集合  ,1j iT x x a a i j N     ∣ 中的元素个数最多为 ( 1) 2 N N  个，即 ( 1) ( ) 2 N N P T   ， 取  2: 2,2 , ,2Nna  ，此时 2 2 i j j ia a   ， 若存在 1 1 2 2j i j i a a a a  ，则 1 1 2 22 2 2 2j i j i   ，其中 1 1 2 2,j i j i  ， 故    1 1 1 2 2 22 2 1 2 2 1i j i i j i    ，若 1 2i i ，不妨设 1 2i i ， 则  1 2 1 1 2 22 2 1 2 1i i j i j i     ，而 1 1 2 2,j i j i  ， 故  1 2 1 12 2 1i i j i   为偶数， 2 22 1j i  为奇数，矛盾， 即有 1 2i i ， 1 2j j ，因此由  2: 2,2 , ,2Nna  得到的 j ia a 彼此相异， 于是 ( 1) ( ) 2 N N P T   ，即 ( )P T 的最大值为 ( 1) 2 N N  ，所以 ( )P T 必有最大值.