精品解析：2024年辽宁省营口市中考适应性测试（二模）数学试题

2024年营口市中考适应性测试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形是圆柱侧面展开图的是（　　） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象与x轴的交点为 B. 当时， C. 点，在该函数图象上，若，则 D. 函数图象经过第二、三、四象限 8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文 9. 如图，在中，点在边上，且．按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点 ④连结并延长，交于点． 则一定可以推得的结论是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=_____． 12. 不等式组的解集是_________． 13. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为_______米． 15. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. “母亲节”来临之际，某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，若购买4束百合和3束康乃馨需要花费230元．若购买6束百合和2束康乃馨需要花费270元． （1）求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？ （2）花店打算购进30束百合和20束康乃馨两种鲜花进行销售，若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获得的利润不低于500元？ 18. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下： 信息一： 信息二： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 m 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m的值和扇形圆心角的度数； （2）补全乙队成绩条形统计图； （3）请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 19. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分． （1）当时，请求出y关于x的函数解析式； （2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由． 20. 半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，其中，（为水平地面）图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，为2.5米，为2米，车板离地的距离为1米．该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为（即）时可全部卸完货物，求此时车身最高点D离地面的距离．（参考数据：，，，结果保留一位小数．） 21. 如图，是的直径，弦于点E，点F为上一点，且，连接，交于点P，连接． （1）求证：： （2）延长交延长线于点G，若，，求的长． 22. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________ 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 23. 新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为． （1）求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标； （3）当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年营口市中考适应性测试 数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线顶点坐标为 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 化学老师在实验室中发现了四个因操作不规范沾染污垢或被腐蚀的砝码，经过测量，超出标准质量的部分记为正数、不足的部分记为负数，它们中质量最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的应用，熟悉掌握其中的含义是解题的关键． 比较绝对值的大小即可解答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴最接近的为g 故选：D． 3. 下列图形是圆柱侧面展开图的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，对几何体的正确认识以及运用空间想象能力是解题的关键． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上， 得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是长方形． 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 先计算，解不等式即可． 【详解】解：， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ， ∴． 故选：D． 5. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键． 根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下： A B B A （B，A） （B，A） B （A，B） （B，B） B （A，B） （B，B） 共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况， 则抽取的两张牌花色相同的概率为． 故选：B． 6. 下列运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 根据同底数幂的乘法运算法则、完全平方公式，合并同类项法则，积的乘方运算，即可一一判定． 【详解】解：A、 ，故该选项错误，符合题意； B、，正确，故该选项不符合题意； C、， 正确，故该选项不符合题意； D、，正确，故该选项不符合题意； 故选：A． 7. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象与x轴的交点为 B. 当时， C. 点，在该函数图象上，若，则 D. 函数图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质以，逐一分析各选项的正误即可． 【详解】A．当时，，函数图象与轴的交点为，选项A不符合题意； B．当时，，，选项B不符合题意； C．∵，∴y随x的增大而减小， ∵点，在该函数图象上，若， ∴，选项C符合题意； D．一次函数的图象经过第一、二、四象限，选项D不符合题意． 故选：C． 8. 记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文， ■ ．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，■ ．”设绫布有尺，则可得方程为根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（ ） A. 每尺绫布比每尺罗布贵120文 B. 每尺绫布比每尺罗布便宜120文 C. 每尺绫布和每尺罗布一共需要120文 D. 绫布的总价比罗布总价便宜120文 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，理解方程的意义是解题的关键． 设绫布有尺，则罗布有尺，再表示每尺绫布和每尺罗布需要的费用，最后根据所列的方程求解即可． 【详解】设绫布有尺，则罗布有尺， ∵绫布和罗布分别出售均能收入896文， ∴每尺绫布的费用为元，每尺罗布的费用为元， ∵， ∴， ∴可以作为补充条件的是：每尺绫布和每尺罗布一共需要120文． 故选：C． 9. 如图，在中，点在边上，且．按以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点； ②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ③以点为圆心，以长为半径画弧，交前一条弧于点 ④连结并延长，交于点． 则一定可以推得的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图--作一个角等于已知角、平行线的判定和相似三角形判定与性质．由作图可知：，推出，利用平行线的性质证出即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∴， ， ， ， 故选：A． 10. 如图1，在中，，点D从A出发，沿运动到B点停止，过点D作，垂足为E，连接．设点D的运动路径长为x，的面积为y，若y与x的对应关系如图2所示，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图形，相似三角形的判定与性质．当时，时，点D在上，利用，求出，再求出，从而求出a；当时，时，D点在上，利用，求出，从而求出b，再计算即可． 【详解】解：由函数图象的拐点可得，， ∴， ∴， 如图，当时，时，点D在上， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴ ∴，即， 如图，当时，时，D点在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴，即， ∴， 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：=_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ． 故答案为：（a+2b）（a-2b） 12. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案． 【详解】 解不等式①得：x＞-1， 解不等式②得：x＜2， ∴不等式组得解集为：-1＜x＜2， 故答案为：-1＜x＜2 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，求不等式的解集须遵循以下原则：同大取较大，同小取较小．小大大小中间找，大大小小解不了；正确求出各不等式的解集是解题关键． 13. 如图，正六边形的边长为2，以A为圆心，的长为半径画弧，得弧，连结，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由正六边形的边长为2，可得，，进而求出，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，在中，由勾股定理求得的长，根据扇形的面积公式即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵正六边形的边长为2， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． 14. 如图①是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲纹处理，将传统文化与现代建筑为一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲纹呈抛物线形，如图②，已知其底部宽度为80米，高度为200米，则离地面128米处的水平宽度（即的长）为_______米． 【答案】48 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是明确题意，数形结合．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出的值，即可得到的值． 【详解】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入， 得：， 解得： ， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， （米）， 故答案为：48． 15. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，若在线段上存在一点M，使得，则点M的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查一次函数的综合问题及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，根据题意，确定一次函数解析式为，然后设，过点O作交于点C，运用等面积法确定，再由勾股定理及两点之间的距离列出方程求解即可，根据题意，作出辅助线是解题关键． 【详解】解：直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴， 设且，即， 过点O作交于点C， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或， 当时，， ∴点M的坐标是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简与求值． （1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． （2）先算括号，再算除法即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 17. “母亲节”来临之际，某花店打算购进百合与康乃馨两种鲜花进行销售，若购买4束百合和3束康乃馨需要花费230元．若购买6束百合和2束康乃馨需要花费270元． （1）求每束百合和每束康乃馨的进价分别是多少元？ （2）花店打算购进30束百合和20束康乃馨两种鲜花进行销售，若每束百合的售价比每束康乃馨的售价多10元，则两种鲜花全部售完后，每束百合的售价应至少定为多少元才能使获得的利润不低于500元？ 【答案】（1）每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元； （2）每束百合的售价应至少定为47元才能使获得利润不低于500元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）设每束百合的进价为x元，则每束康乃馨的进价为y元，列出方程组求解即可； （2）设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每束百合的进价为x元，则每束康乃馨的进价为y元， 由题意得，， 解得， ∴每束百合和每束康乃馨的进价分别是35元，30元； 【小问2详解】 解：设每束百合的售价为m元，则每束康乃馨的售价为元，由题意得， ， 解得：， ∴每束百合的售价应至少定为47元才能使获得利润不低于500元． 18. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩学校进行了收集和整理，其中部分信息如下： 信息一： 信息二： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 10 1 m 7 请根据以上信息，解答下列问题： （1）求m的值和扇形圆心角的度数； （2）补全乙队成绩条形统计图； （3）请从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1）的值为2，的度数为 （2）图见解析 （3）乙运动队的成绩较好 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，加权平均数、中位数． （1）先由乙队9分人数和占比求出总人数，即可求出m的值和扇形圆心角的度数； （2）求出乙队7分的人数即可补全图形； （3）分别求出两队的中位数和平均数，再比较即可． 【小问1详解】 两队人数为： ， 的值为2，的度数为． 【小问2详解】 乙队7分人数为：，补全条形图如图： 【小问3详解】 ①甲的中位数为：（分）；乙的中位数为：（分）； ②甲队成绩的平均数为：（分）； 乙队成绩的平均数为：（分）； 甲、乙两队成绩的平均数相同，但乙队的中位数比甲队的中位数大 乙运动队的成绩较好． 19. 心理学研究发现，一般情况下，在一节40分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，10分钟后保持平稳一段时间，平稳时间持续14分钟，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示，CD为反比例函数图象的一部分． （1）当时，请求出y关于x的函数解析式； （2）数学老师计划在课堂上讲解一道23分钟的推理题，请问他能否经过适当的安排，使学生在听这道题目的讲解时注意力指标数不低于32？并说明理由． 【答案】（1） （2）经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的应用． （1）分别从图象中找到其经过的点，利用待定系数法求得函数的解析式即可； （2）分别求出注意力指数为32时的两个时间，再将两时间之差与23比较，大于23则能讲完，否则不能． 【小问1详解】 解：由题意可知：， 点的坐标为， 设反比例函数解析式为， 将代入，得：， 解得， 反比例函数解析式为， 将代入，得， 点D的坐标为， 点A的坐标为， 设时，求与的函数关系式为， 由图可得点B的坐标为， 将，代入，得， 解得， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 当时，解得， ，解得． 经过适当的安排，能使学生在听这道题目的讲解时，注意力指标数不低于32． 20. 半挂车是挂车中的一种类型，是通过牵引销与半挂车头相连接的一种重型运输交通工具．如图是一种轻体侧翻自卸半挂车．图1是半挂车拉货状态截面示意图，其中，（为水平地面）图2是其卸货状态截面示意图，四边形为矩形，为2.5米，为2米，车板离地的距离为1米．该半挂车卸货时，车身侧翻，侧翻角度为（即）时可全部卸完货物，求此时车身最高点D离地面的距离．（参考数据：，，，结果保留一位小数．） 【答案】此时车身最高点D离地面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，交于点，交BC于点，证明四边形为矩形，得，在中，求出，在中，求得，再由求解即可 【详解】解：过点作于点，交于点，交BC于点，则， 四边形为矩形， ，，， ， ． 四边形为矩形， ， ，， ． 在中，， ，， ， 在中，， ， （m）， 答：此时车身最高点D离地面的距离约为． 21. 如图，是的直径，弦于点E，点F为上一点，且，连接，交于点P，连接． （1）求证：： （2）延长交延长线于点G，若，，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）的长为5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理及推理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）由根据垂径定理可得，再由可得，进而得到； （2）连接BC，先求出，，再证明得到解得，再证明得到求得，最后根据求解即可． 【小问1详解】 为直径， ． 【小问2详解】 连接BC， 为直径 ， ， 在中，由勾股定理得： ，为直径 ，， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ， ， ， ， ， ， ， ． 的长为5． 22. 我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）如图2，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．当为等边三角形时，与的数量关系为：____________________ 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图3，四边形中，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使是的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）． （2） （3）存在，“旋补中线”长为2 【解析】 【分析】（1）首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点，连接，利用垂直平分线的性质及各角之间的关系得出，，再由勾股定理及等腰三角形的判定得出，，，利用等边三角形的判定和性质即可证明，再由勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图2中， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在． 理由：作的垂直平分线，过点D作的垂线，交于点P，连接，找出边的中点M，连接，如图所示： ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴是的“旋补三角形”， ∵是等腰直角三角形，点M为中点，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 23. 新定义：我们把抛物线与抛物线（其中）称为“伴随抛物线”．例如：抛物线的“伴随抛物线”为．已知抛物线的“伴随抛物线”为． （1）求出的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标； （2）过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线，于点M，N．当时，求点P的坐标； （3）当时，的最大值与最小值的差为，求a的值． 【答案】（1）； （2）或 （3）的值为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及新定义，二次函数的图象及性质； （1）根据“伴随抛物线”定义求抛物线的函数表达式和顶点坐标即可； （2）设点，则，，根据列方程求解即可； （3）分别求出顶点、、时函数值，再根据对称轴与的位置分类讨论，确定最大值和最小值，最后列方程求解即可． 【小问1详解】 根据“伴随抛物线”定义可知，抛物线的函数表达式； ， 顶点坐标为； 【小问2详解】 设点，因为，， ，，， ， 或， 当时，判别式， 方程无解； 当时，解得，， 或； 【小问3详解】 ， 对称轴为，当时，． 当时，； 当时，； 根据题意可知，需要分三种情况讨论： I．当，即时， 若，即， 则；， ， 解得或（舍）或（舍）； 若，即时， ；， ， 解得或（舍）或（舍）； II．当，即时， ；． ， 解得（舍）或（舍）； III．当，即时，， ， 解得（舍去）或（舍去）， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $