山东省菏泽市牡丹区菏泽外国语学校2024届高三下学期三模数学试题

第 1 页 共 2 页 绝密★启用前 菏泽外国语学校 2023-2024学年第二学期高三第三次模拟考试 数学试卷 2024.5 注意事项： 1、答卷时，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合  2 2 0A x x x   Z ，则 A的子集个数为（ ） A．4 B．7 C．8 D．16 2．若抛物线  2 2 0y px p  的焦点到直线 2x   的距离为 4，则 p的值为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知平面向量 ( 1,1), (2,0)a b    ，则 a在b  上的投影向量为（ ） A． ( 1,0) B． (1,0) C． ( 2,0) D． ( 2,0) 4．若随机变量  23,N  ，且  4 0.2P    ，则  2 3P   （ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 5．已知各项均为正数的等比数列 na 中，若 5 9a  ，则 3 4 3 6log loga a ＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 6．若 tan 2  ，则 2 sin2 cos2 sin    的值为（ ） A． 4 7  B． 2 3 C． 4 9 D． 4 7 7．已知圆台的侧面展开图的面积为6π，上、下底面圆的半径分别为1和 2，则该圆台的高为（ ） A．1 B． 3 C．2 2 D． 15 8．已知函数  f x 的定义域为 R，若        , 1 1f x f x f x f x      ，则  2024f （ ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．下列结论正确的是（ ） A．若随机变量 X，Y满足 2 1Y X  ，则 ( ) 2 ( ) 1D Y D X  B．若随机变量  2~ 3,X N  ，且 ( 6) 0.84P X   ，则 (3 6) 0.34P X   C．若线性相关系数 r的绝对值越接近 1，则两个变量的线性相关程度越强 D．按从小到大排序的两组数据：甲组：27，30，37，m，40，50；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数 据的第 30百分位数、第 50百分位数都分别对应相等，则 70m n  10．若复数 z 满足  1 i 2 iz    （i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A． 10 2 z  B．z的虚部为 3 i 2  C． 5 2 z z  D．若复数ω满足 2 1z   ，则  的最大值为 10 11．已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是正方形，则下列关系能同时成立的是（ ） A．“ AB PB ”与“ PB BD ” B．“ PA PC ”与“ PB PD ” C．“ PB CD ”与“ PC AB ” D．“平面 PAB 平面 PBD ”与“平面 PCD 平面 PBD ” 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。 12．在平面直角坐标系中，角 的始边与 x轴非负半轴重合，终边经过点  3,2 ，则 πsin 3       ． 13．已知二项式  5 nx x 的展开式中第 4项与第 8项的二项式系数相等， n  ． 14．数列 na 满足 2 2n na a   ，若 1 1a  ， 4 4a  ，则数列 na 的前 20项的和为 ． 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 第 2 页 共 2 页 15．（13分） a，b， c分别为 ABC 的内角A， B，C的对边.已知7 cos cos cosa A b C c B  . (1)求 sin2A； (2)若 9b c  ， 2 212 1a b  ，求 ABC 的周长. 16．（15分）某视力研究中心为了解大学生的视力情况，从某大学抽取了 60名学生进行视力测试，其中男生与女生 的比例为 2 :1，男生近视的人数占总人数的 5 12 ，男生与女生总近视人数占总人数的 2 3 . (1)完成下面 2 2 列联表，并依据小概率值 0.01  的独立性检验，能否认为是否近视与性别有关. 近视 不近视 合计 男 女 合计 60 (2)按性别用分层抽样的方法从近视的学生中抽取 8人，若从这 8人中随机选出 2人进行平时用眼情况调查，求选出 的 2人中女生人数 X 的分布列和数学期望. 附：        2 2 ( )n ad bc n a b c d a b c d a c b d           .  2 0P k 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 17．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，侧面 PAD是边长为 2的正三角形，平面 PAD  平面 ABCD， AB PD ． (1)求证： AB 平面 PAD； (2)若 E为侧棱 PD的中点，且点 B到平面 ACE的距离为 2 5 5 ，求平面 ACE与平面 ABP夹 角的余弦值． 18．（17分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yE a b a b     的左，右焦点分别为 1 2,F F ，椭圆 E的离心率为 1 2 ，椭圆 E上的点 到右焦点的最小距离为 1． （1）求椭圆 E的方程； （2）若过右焦点 2F 的直线 l与椭圆 E交于 B，C两点，E的右顶点记为 A， 1/ /AB CF ，求直线 l的方程． 19．（17分）已知函数   ln 2f x x mx   ． (1)求  f x 的极值； (2)若  f x 在区间 2 1 ,e e      有 2个零点，求m的取值范围 菏泽外国语学校2023-2024学年第二学期高三第三次模拟考试 数学试卷答案 2024.5 1．C 【分析】根据题意求集合A，结合集合元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2．C 【分析】由抛物线方程求出焦点坐标后计算即可得. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 则有，解得. 故选：C. 3．A 【分析】根据已知条件分别求出和，然后按照平面向量的投影向量公式计算即可得解. 【详解】 ， ，, 在上的投影向量为. 故选：A. 4．B 【分析】由正态分布性质可知：，，由正态分布曲线的对称性可知：，即可得到答案. 【详解】由随机变量，根据正态分布性质可知：， 因为，可得， 再根据正态分布曲线的对称性可知：， 所以， 故选：B. 5．C 【分析】利用对数运算性质结合等比中项求解即可. 【详解】由题意得，由等比中项性质得， 故. 故选：C 6．A 【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 7．B 【分析】由圆台侧面积的公式求出母线长，再由勾股定理求出圆台的高. 【详解】设圆台的母线长为，所以圆台的侧面展开图的面积为， ，解得：， 设圆台的高为,则. 故选：B. 8．A 【分析】利用奇偶性和对称性求得函数周期为4，然后由周期性和奇函数的性质可得. 【详解】因为， 所以，即， 又，函数的定义域为R， 所以，是定义域为R的奇函数，所以，， 所以，，故， 所以是以4为周期的周期函数， 所以. 故选：A 9．BCD 【分析】利用方差的性质判断A；利用正态分布的对称性求出概率判断B；利用线性相关系数的性质判断C；利用第p百分位数计算判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，线性相关系数的绝对值越接近1，则两个变量的线性相关程度越强，C正确； 对于D，由，依题意，，且， 解得，因此，D正确. 故选：BCD 10．AC 【分析】根据复数的除法运算求出，利用复数模的公式计算可判断A；由虚部概念可判断B；由共轭复数概念和复数乘法运算可判断C；根据复数的减法的几何意义求解可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以， 所以，A正确； 对于B，由上可知，z 的虚部为，故B错误， 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，记复数对应的点为，复数对应的点为， 则由可得，即点在以B为圆心，1为半径的圆上， 所以，的最大值为，即的最大值为，D错误. 故选：AC 11．BC 【分析】利用正方形的特征可判定A，利用球的特征可判定B，利用面面垂直的性质可判定C，利用反证法可判定D. 【详解】对于A，显然时，而底面是正方形，， 所以不成立，故A错误； 对于B，设底面正方形中心为O，则P在以O为球心，以为半径的球面上时可符合题意，故B正确； 对于C，当平面底面时， 由面面垂直的性质可知平面，平面，显然符合题意，故C正确； 对于D，先证两相交平面同时垂直于第三平面，则交线垂直第三平面， 如图有，取，作， 垂足分别为B、C，由面面垂直的性质可知， 由线面垂直的性质可知， 又，由线面垂直的判定可知， 若“平面平面”与“平面平面”同时成立， 易知平面平面，可设平面平面，则， 则平面， 易知平面，所以面，则， 则有平面，显然不成立，故D错误. 故选：BC 12．/ 【分析】先利用角的终边所经过的点求出，再求. 【详解】因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点， 所以，； . 故答案为： 13．10 【分析】借助二项式系数的性质与组合数的性质计算即可得. 【详解】因为二项式的展开式中，第4项与第8项的二项式系数相等， 所以，由组合数的性质可得． 故答案为：10. 14．210 【分析】数列的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解. 【详解】数列满足，若，，则， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列 所以数列的前20项的和为 . 故答案为：210. 15．(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，求得，进而求得. （2）利用余弦定理求得，进而求得的周长. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 即，又，所以， 所以为锐角，所以， 故 ； （2）因为，， 所以， 整理得，解得（负根舍去）， 所以，， 所以的周长为. 16．(1)表格见解析，无关 (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据已知中的数据信息可以补全二阶列联表，并利用卡方公式进行计算，根据小概率值的独立性检验，把卡方值与6.635比较，从而作出判断. （2）利用分层抽样确定样本中8人，男生有6人，女生有2人，再从中抽取2人，这就是超几何分布，由此可计算出结果. 【详解】（1）由题意，男生与女生的人数之比是，所以男生有人，女生有人，男生近视的人数占总人数的，所以有人，男生中不近视的人数为15人， 男生与女生总的近视人数占总人数的，所以总的近视人数为，则女生中近视的人数为人. 可得如下列联表： 近视 不近视 合计 男 25 15 40 女 15 5 20 合计 40 20 60 零假设为：性别与近视情况独立，即性别因素与学生近视情况无关； 所以， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即性别因素与学生近视情况无关. （2）男生与女生总的近视的学生一共有40人，其中男生近视人数是25人，女生近视人数是15人，从中抽取8人，抽到的男生人数､女生人数分别为：. 所以从这8人中随机抽取2人，其中女生人数的所有可能取值为. ， 所以的分布列为 0 1 2 即. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设Q为AD的中点，连接PQ，证明平面ABCD，得， 从而可证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【详解】（1）设Q为AD的中点，连接PQ， ∵为正三角形，∴， 又平面平面ABCD，平面平面，平面PAD ， ∴平面ABCD， 又平面ABCD，∴，     又，，平面PAD ，∴平面PAD； （2）在平面PAD内作，则． ∵平面PAD，平面PAD，平面PAD，∴，． 如图所示，以A为坐标原点，AB，AD，AM所在直线分别为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系．     ∵底面ABCD为平行四边形，，∴ABCD为矩形． 设，则，，，，，． ∴， 设平面ACE的法向量为， 由得 取，得平面ACE的一个法向量为．         又，所以点B到平面ACE的距离为， 解得．         ∴，，， 设平面ABP的法向量为， 由得 取，得平面ABP的一个法向量为．     ∴平面ACE与平面ABP夹角的余弦值为 ． 18.【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用椭圆焦半径公式及性质计算即可； （2）设直线l方程，B、C坐标，根据平行关系得出两点纵坐标关系，联立椭圆方程结合韦达定理解方程即可. 【小问1详解】 设焦距为，由椭圆对称性不妨设椭圆上一点， 易知，则 ， 显然时， 由题意得解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 因为，所以 所以① 设直线的方程为，联立得，整理得， 由韦达定理得， 把①式代入上式得，得， 解得， 所以直线的方程为：或. 19．(1)当时，在处取极大值 (2) 【分析】（1）根据题意，求导得，然后分与讨论，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为与在区间有2个交点，求得函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）因为，定义域为，所以， 当时，由于，则恒成立， 所以在上单调递增，无极值， 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减： 所以当时，在处取极大值，无极小值； （2）， 令，得，令，在区间有2个零点， 即与在区间有2个交点， ，，， 当，，在上单增， 当，，在上单减， ，的最大值为，， 与在区间有2个交点，则． 学科网（北京）股份有限公司 $$请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 班级 姓名 学校 考场号 座位号 正确填涂 错误填涂 考生禁填 缺考 违规 贴条码区域 注 意 事 项 .答题前请将姓名、班级、考场、座号和准考证号填写清楚。1 .客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,修改时用橡皮擦干净。2 .主观题必须使用黑色签字笔书写。3 .必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效。4 .保持答卷清洁完整。5 (由监考老师填涂) 填空题 (共11题，共58分) 1 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 填空题（共3题，共15分） 、   、   、   12                                                                                                                                                              13                                                                                                                                                              14                                                                                                                                                              解答题（共5题，共77分） . （13分）15 第1页 共4页 菏泽外国语学校2023-2024学年第二学期高三第三次模拟考试 数学试卷答题卡 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）16 第2页 共4页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 班级 姓名 学校 考场号 座位号 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）  17 第3页 共4页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）18 . （17分）19 第4页 共4页