广东省湛江市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

湛江第一中学2023～2024学年度第二学期开学考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章、第八章，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．数列的一个通项公式可以是（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知是等差数列的前项和，且，则（ ） A．30 B．60 C．90 D．180 4．直线被圆截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一点，，过点作轴的垂线，垂足为，则（ ） A． B． C． D． 6．已知等比数列满足，，则数列前8项的和（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（ ） A．5 B． C．7 D．8 8．已知椭圆的左焦点，焦距为为坐标原点，点在椭圆上，点在直线上，若，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．如图所示，四边形为正方形，平面平面，为的中点，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B．直线到平面的距离为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 10．已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（ ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25 11．已知点是椭圆上的一点，经过原点的直线与椭圆交于两点（不同于左、右顶点），且，直线与轴交于点与轴垂直，则下列说法正确的是（ ） A．记直线的斜率为，则 B． C．面积的最大值为 D．若是椭圆的左焦点，则的最小值为8 12．已知焦点在轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线的实轴长为，过双曲线的右焦点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，点关于轴的对称点为，则（ ） A．若两点均在双曲线的右半支上，则直线的倾斜角的取值范围为 B．若直线斜率取值范围为，则取值范围为 C．若点依次从左到右排列，则存在直线使得为线段的中点 D．直线过定点 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．在各项均为正数的等比数列中，，则______． 14．已知向量，，，若三个向量共面，则______． 15．已知抛物线，过的直线交抛物线于两点，且，则直线的方程为_______． 16．如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于两点，，，则椭圆的离心率为______． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在中，内角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）若，求面积的最大值． 18．（本小题满分12分） 已知等差数列的其前项和为，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面，，，为侧棱上一点，平面与侧棱交于点，且，与底面所成的角为． （1）求证：为线段的中点； （2）求平面与平面的夹角的正弦值． 20．（本小题满分12分） 已知点是双曲线上任意一点． （1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）已知点，求的最小值． 21．（本小题满分12分） 已知椭圆的左、右焦点分别为，动直线过点与椭圆相交于两点． （1）当轴时，求的外接圆的方程； （2）求内切圆半径的最大值． 22．（本小题满分12分） 已知抛物线，为的焦点，在上，且． （1）求抛物线的方程； （2）若直线与交于两点（分别位于直线的两侧），且直线的斜率之和为0， （ⅰ）求直线的斜率； （ⅱ）求的面积的最大值． 湛江第一中学2023～2024学年度第二学期开学考试·高二数学参考答案、提示及评分细则 1．B 选项，当时，，故错误；选项，当时，，当时，，当时，，当时，，故B正确；C选项，当时，，故C错误；D选项，当时，，故错误．故选B． 2．A 因为抛物线的标