专题03 解三角形（考点清单，16题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题03 解三角形 【考点题型一】正弦定理及应用1 1.定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即＝＝． 2．由正弦定理导出的结论 (1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC． (2)由等比性质和圆的性质可知，＝＝＝_＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径． (3)A<B⇔a<b⇔sinA<sinB． 3.应用1：已知任意两角与一边，求其他两边和一角. 【规律方法】 已知任意两角和一边，解三角形的步骤： ①求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； ②求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． 【例1】在中，点在线段上，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2022上·江西赣州·高三校联考期中）在中，角所对的边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·河北沧州·期中）如图，在中，，D在边AB上，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·上海·期中）中，已知，，，则边的长为 . 【考点题型二】正弦定理及应用2 正弦定理应用2 ：已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)． 【规律方法】 （1）求正弦：根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值．注意判断解的情况． （2）求角：先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三角． （3）求边：根据正弦定理求第三条边的长度． 【例2】（23-24高一下·四川泸州·期中）在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，，则角C的大小为（    ） A．45° B．105°或15° C．15° D．135°或45° 【变式2-1】（23-24高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（23-24高一下·江苏连云港·期中）设的内角所对的边分别为，若，则（    ） A．或 B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】三角形解的个数问题 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数． ②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a＝b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsinA 两解 a＝bsinA 一解 a<bsinA 无解 已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： 【例3】（23-24高一下·天津河西·期中）根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一下·福建三明·期中）在中，，，，若满足条件的有且仅有一个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】【多选题】（23-24高一下·广东广州·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列对的个数的判断正确的是（    ） A．当，，时，有两解 B．当，，时，有一解 C．当，，时，有一解 D．当，，时，有两解 【变式3-3】（23-24高一下·浙江宁波·期中）在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】余弦定理应用1 1.余弦定理文字表述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 2.余弦定理公式：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 3.推论：，， 4.应用1：已知三角形的三条边求三个角 【规律方法】 已知两边及一角解三角形的方法： (1)当已知两边及它们的夹角时，用余弦定理求解出第三边，再用正弦定理和三角形内角和定理求解另外两角，只有一解； (2)当已知两边及其一边的对角时，可用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边；也可用正弦定理求解，但都要注意解的情况的讨论．利用余弦定理求解相对简便． 【例4】（23-24高一下·四川·期中）在凸四边形中，若，，，，，则 . 【变式4-1】（23-24高一下·上海·期中）已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 【变式4-2】（2018·全国·高考真题）在中，,BC=1,AC=5，则AB= A． B． C．