精品解析：黑龙江省双鸭山市第一中学等校2024届高三第四次模拟数学试题

2023~2024学年度高三年级第四次模拟 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答題卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的虚部为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 3. 佛兰德现代艺术中心是比利时洛默尔市的地标性建筑，该建筑是一座全玻璃建筑，整体成圆锥形，它利用现代设计手法令空间与其展示的艺术品无缝交融，形成一个统一的整体，气势恢宏，美轮美央.佛兰德现代艺术中心的底面直径为8，高为30，则该建筑的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 现有红色､黄色､蓝色的小球各4个，从中任取3个小球，若这3个小球颜色不全相同，则不同取法有（ ） A. 160种 B. 208种 C. 256种 D. 472种 5. 已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知内角的对边分别为，动点位于线段上，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 已知点是抛物线准线上的一点，过点作的两条切线，切点分别为，则原点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据的平均数为，中位数为，方差为，极差为，由这数据得到新数据，其中，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（ ） A. 平均数是 B. 中位数是 C. 方差 D. 极差是 10. 加斯帕尔•蒙日（如图1）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”（如图2）.已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆与椭圆有相同焦点 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 矩形的面积最大值为50 11. 已知函数是定义域为的可导函数，.若是奇函数，且的图象关于直线对称，则（ ） A. B. 曲线在点处的切线的斜率为2 C. 是的导函数 D. 的图象关于点对称 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知，则__________. 13. 已知过点的动直线与圆交于两点，为的中点，则直线的斜率的取值范围是______，为坐标原点的取值范围为______. 14. 如图所示，中，，分别是边上点，，将沿折起，点折起后的位置记为点，得到四棱锥，则四棱锥体积的最大值为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，与的等差中项为5，且. （1）求数列的通项公式； （2）设求数列前20项和. 16. 随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园､场馆，投入健身运动中，成为一道美丽的运动风景线.某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据： 周平均锻炼时间少于5小时 周平均锻炼时间不少于5小时 合计 50岁以下 80 120 200 50岁以上（含50） 50 150 200 合计 130 270 400 （1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？ （2）现从50岁以上（含50）的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷.记抽取3人中周平均锻炼时间不少于5小时的人数为，求的分布列和数学期望. 参考公式及数据：，其中. 0.025 0.01 0.005 0.001 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在直三棱柱中，，，为中点. （1）证明：平面； （2）若二面角的余弦值为，求点到平