2024年中考数学专题训练复习——三角形压轴题

2024年中考数学专题训练复习——三角形压轴题 1. (2023春•内江期末)如图,△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分线,它们相交于点O,∠CAB＝50°,∠C＝60°,求∠DAE和∠BOA的度数. 2. (2023·辽宁沈阳·中考真题)如图,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M,N,与边AD交于点E,垂足为点. (1)求证:△AOM≌△CON; (2)若AB=3,AD=6,请直接写出AE的长为______. 3. (2023·广西河池中考)(1)如图(1),已知CE与AB交于点E,AC＝BC,∠1＝∠2.求证:△ACE≌△BCE. (2)如图(2),已知CD的延长线与AB交于点E,AD＝BC,∠3＝∠4.探究AE与BE的数量关系,并说明理由. 4. (2023•滨湖区一模)如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D,过点D作DF⊥BC,DG⊥AB,垂足分别为F、G. (1)求证:AG=CF; (2)若BG=5,AC=6,求△ABC的周长. 5. (2023·贵州毕节)如图1,在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,D为△ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接CE,BD的延长线与CE交于点F. (1)求证:BD＝CE,BD⊥CE; (2)如图2,连接AF,DC,已知∠BDC＝135°,判断AF与DC的位置关系,并说明理由. 6. (2023·山东淄博·中考真题)如图,著名旅游景区B位于大山深处,原来到此旅游需要绕行C地,沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力,发展壮大旅游经济,修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A＝45°,∠B＝30°,BC＝100千米,≈1.4,≈1.7等数据信息,解答下列问题: (1)公路修建后,从A地到景区B旅游可以少走多少千米？ (2)为迎接旅游旺季的到来,修建公路时,施工队使用了新的施工技术,实际工作时每天的工效比原计划增加25%,结果提前50天完成了施工任务.求施工队原计划每天修建多少千米？ 7. (2023·宁波)图1是一种三角车位锁,其主体部分是由两条长度相等的钢条组成.当位于顶端的小挂锁打开时,钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下),此时汽车可以进入车位;当车位锁上锁后,钢条按图1的方式立在地面上,以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位.图2是其示意图,经测量,钢条AB＝AC＝50cm,∠ABC＝47°. (1)求车位锁的底盒长BC; (2)若一辆汽车的底盘高度为30cm,当车位锁上锁时,问这辆汽车能否进入该车位？(参考数据:sin47°≈0.73,cos47°≈0.68,tan47°≈1.07) 8. 【2023.内蒙古包头市】(12分)如图,已知△ABC是等边三角形,P是△ABC内部的一点,连接BP,CP. (1)如图1,以BC为直径的半圆O交AB于点Q,交AC于点R,当点P在上时,连接AP,在BC边的下方作∠BCD＝∠BAP,CD＝AP,连接DP,求∠CPD的度数; (2)如图2,E是BC边上一点,且EC＝3BE,当BP＝CP时,连接EP并延长,交AC于点F,若AB＝4BP,求证:4EF＝3AB; (3)如图3,M是AC边上一点,当AM＝2MC时,连接MP.若∠CMP＝150°,AB＝6a,MP＝a,△ABC的面积为S1,△BCP的面积为S2,求S1﹣S2的值(用含a的代数式表示). 9. (2023·山东东营·中考真题)如图1,在等腰三角形ABC中,∠A=120o,AB=AC点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE连接BE点M,N,P分别为DE,BE,BC的中点. (1)观察猜想 图1中,线段NM,NP的数量关系是____,∠MNP的大小为_____; (2)探究证明 把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置,连接MP,BD,CE判断△MNP的形状,并说明理由; (3)拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=1,AB=3,请求出△MNP面积的最大值. 10. (2023•宁波模拟)定义:如果一个三角形一边上的中线与这条边上的高线之比为,那么称这个三角形为“神奇三角形”. (1)已知:Rt△ABC中,∠ACB=90o. ①当AC=BC时,求证:△ABC是“神奇三角形”; ②当AC≠BC时,且△ABC是“神奇三角形”,求tanA的值; (2)如图,在△ABC中,AB=AC,CD是AB边上的中线,若∠DCB=45o,求证:△ABC是“神奇三角形”. 11. (2023·贵州黔东南·中考真题)如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形. 探究发现 (1)△BCD与△ACE是否全等？若全等,加以证明;若不全等,请说明理由. 拓展运用 (2)若B、C、