2024年中考数学复习-二次函数中特殊三角形的存在性问题

二次函数中特殊三角形的存在性问题 (一)二次函数中的等腰三角形存在性问题 如果△ABC 是等腰三角形, 那么存在①AB=AC, ②BA=BC, ③CA=CB 三种情况. 因此, 解等腰三角形的存在性问题时，通常要进行分类讨论。这类问题有几何法和代数法两种方法，我们要根据具体情况灵活选择简便的方法。几何法一般分三步：分类、画图、计算. 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验. 【例1】抛物线 与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于C点，点D为抛物线的顶点，连接BC，点P是直线BC上一动点，是否存在点P，使得 为等腰三角形，若存在，求出点 P 坐标，若不存在，请说明理由。 首先我们利用“两圆一线”法，快速确定点P的位置和个数，如图所示直线BC 与两圆一线的交点有五个，分别是 【简答】由已知得: A(-1,0), B(3,0), C (0,-3), D (1,-4) ∴直线BC解析式: 设 则 ①当PA=AD时, 解得： 此时点P的坐标为 或 (此时对应的图上点为P₁和P₄，因为这两个点均满足 PA=AD) ②当PD=AD时, 解得： 此时点P的坐标为(3，0)或 (此时对应的图上点为P₂和) ，因为这两个点均满足 ③当PA=PD时, 解得: x=2 此时点P 的坐标为(2，-1)(此时对应的图上点为P₃，因为这个点满足 综上所述，满足条件点 P 的坐标为 或 或(3,0) 或( 或 至此，我们把五个点就全部找齐了，我们在用代数法求得结果时，一定要检验这一结果是否满足条件，而利用两圆一线可以很直观地帮助我们检验，做到万无一失。 (二)二次函数中的直角三角形存在性问题 如果 是直角三角形，那么存在①∠A为直角，( 为直角，③∠C为直角三种情况.因此，解直角三角形的存在性问题时，通常要进行分类讨论。这类问题有几何法和代数法两种方法，我们要根据具体情况灵活选择简便的方法。 几何法一般分三步：分类、画图、计算. 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验. 【例2】抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P为抛物线的对称轴上一动点，是否存在点P，使得 为直角三角形，若存在，求出点P坐标，若不存在，请说明理由。 首先我们利用“两线一圆”法，快速确定点P的位置和个数，如图所示对称轴与两线一圆的交点有四个，分别是 【简答】由已知得: A (-1,0), B(3,0), C(0,-3), 对称轴为直线 设P (1, y), 则 ①当∠PBC=90°时, 即 解得： 此时点P坐标为 (1,2)(对应图上P₁点) ②当∠BPC=90°时, 即 解得： 或 时点P 坐标为 或 (对应图上P₂、P₃点) ③当∠PCB=90°时, 即 解得: y=-4, 此时点P 坐标为(1, -4)(对应图上P₄点) 综上所述，满足条件点P的坐标为(1，2)或 或 或 (1,-4) . 我们在用代数法求得结果时，一定要检验这一结果是否满足条件，而利用“两线一圆”可以很直观地帮助我们检验，做到万无一失。 (三)二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 *已知A、B两个定点,找点P,使 为等腰直角三角形： *已知一个定点O，找点P、Q(P在抛物线上，Q在对称轴上)，使 为等腰直角三角形：①O为直角顶点： ②P为直角顶点： ③Q为直角顶点： 在解决等腰直角三角形存在性问题时，往往要用到几何和代数相结合的方法，设出点的坐标后，利用等腰直角三角形的几何性质及函数关系式列方程求解，最常用到的有： ①两直角边相等，直角边与斜边的比为1： ②斜边中线垂直于斜边，且等于斜边的一半； ③直角顶点处构造三垂直，得到全等三角形，利用对应边的等量关系求解。 【例3】如图，已知与抛物线 过A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-3). (1)求抛物线 的解析式. (2)设抛物线的对称轴与x轴交于点P，D为第四象限内的一点，若 为等腰直角三角形，求出D点坐标. 【解答】(1)设抛物线解析式为 将A、B、C三点代入，可得解析式为. (2) 如图, C(0,-3), P(1,0), 当点P 为顶点时,( 可证△PED₁≌△OPC, OP=ED₁=1, OC=PE=3, ∴D₁(4,-1), 当点C 为顶点时， 可证△CFD₂≌△OPC, OP=CF=1, OC=D₂F=3, ∴D₂(3,-4),当点D为顶点时， 为 的中点， 【例4】如图①，已知抛物线 的图象经过点A(0, 3)、B(1, 0), 其对称轴为直线l: x=2, 过点A 作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB 的平分线交线段AC于点 E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)如图②，F是抛物线的对称轴1上的一点，在