重庆市第一中学校2024届高三下学期三模考试数学试题

重庆市第一中学校2024届高三下学期三模考试数学试题 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答时,务必将答案写在答题卡上,写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后,将答题卡交回. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合,则 A. B. C. D. 2.已知,向量为单位向量,,则 A. B. C. D. 3.等差数列的前项和为,若,则公差 A.12 B.2 C.3 D.4 4.故宫的角楼是中国古建筑艺术的巅峰之作,它被誉为故宫最美的建筑,角楼的建造者也将中国古代的阴阳观和吉数的思想融入在角楼的设计之中.中国古代常把奇数称为“阳数”,偶数称为“阴数”,9的整数倍称为“吉数”.若从1,3,5,7,9这五个阳数,2,4,6,8这四个阴数中各取一个数组成两位数,则这个两位数恰好是“吉数”的概率是 A. B. C. D. 5.下列说法中正确的是 A.若线性回归方程为,则变量增加1个单位时,平均增加5个单位 B.某校共有男生550人,女生450人,用分层抽样的方法抽取容量为40人的样本,则女生甲被抽中的概率为 C.在一个列联表中,由计算得出,而,则在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为这两个变量之间有相关关系 D.具有线性相关关系的两个变量x,y的相关系数为,若越接近于0,则x,y之间的线性相关程度越高 6.已知直三棱柱的外接球表面积为,则该三棱柱的体积为 A.2 B. C.4 D. 7.已知抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于A,B两点,点在第一象限,点为坐标原点,且,则直线的斜率为 A. B. C.1 D.-1 8.数列的前项和为,若对任意恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.在中,角的对边为若,则的面积可以是 A. B.3 C. D. 10.已知复数,复数满足,复数的共轭复数为,则 A. B.的最小值为2 C. D.|z|的最大值为 11.正方体的棱长为2,M,N分别为线段上的动点(包含端点),则 A.直线MN与为异面直线 B.当为中点时,直线平面 C.当时,直线平面 D.|MN|的取值范围为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.已知随机变量,则______________. 13.已知,则______________. 14.已知椭圆的左右焦点为,若椭圆上存在不在轴上的两点A,B满足,且,则椭圆离心率的取值范围为______________. 四、解答题:共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演筫步骤。 15.(13分) 重庆一中被评为“全国最美校园书屋”,学校和重庆大学图书馆签订了合作共享协议,重庆大学图书馆对重庆一中所有学生开放图书借阅.已知小张同学在重庆大学的图书借阅规律如下:他在重庆大学图书馆只借阅“期刊杂志”和“文献书籍”两类书籍.第一次随机选择一类图书借阅,若前一次选择借阅“期刊杂志”,则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为,若前一次选择借阅“文献书籍”,则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为. （1）设小张同学在两次借阅过程中借阅“期刊杂志”的次数为,求的分布列与数学期望: （2）若小张同学第二次借阅“文献书籍”,试分析他第一次借哪类图书的可能性更大,并说明理由. 16.(15分) 如图所示的几何体是一个半圆柱和一个三棱锥的组合体.是半圆柱的母线,分别是底面直径BC和的中点,是半圆上一动点,是半圆上的动点,是圆柱的母线,延长至点使得为的中点,连接PB,PC构成三棱锥. （1）证明：; （2）当三棱锥的体积最大时,求平面与平面的夹角. 17.(15分) 如果存在实数对使函数,那么我们就称函数为实数对的“型正余弦生成函数”,实数对为函数的“型正余弦生成数对”. （1）已知函数的“4型正余弦生成数对”为,求方程在区间上所有实根之和; （2）若实数对的“2型正余弦生成函数”在处取最大值,其中,求的取值范围; 18.(17分) 已知函数. （1）若,求在点处的切线方程,并求函数的单调区间: （2）若在定义域上的值域是的子集,求实数的取值范围. 19.(17分) 已知是双曲线的左右顶点，动点是双曲线上异于的任意一点，且满足直线与的斜率之积为3. （1）求双曲线的方程; （2）已知点为双曲线的右焦点,过点作直线交双曲线右支于A,B两点,过点且与直线垂直的直线交直线于点P,O为坐标原点,直线OP交双曲线于M,N两点.设直线的斜率分别为,且. （1）证明:双曲线在点处的切线经过点； （2）记,求的值. 5月28日考试数学参考答案