第10讲 指数与指数函数（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第10讲 指数与指数函数（精讲） ①指数幂的化简与求值 ②指数函数的图像与性质 ③解指数不等式 ④指数型复合函数 ⑤指数函数的综合应用 一、必备知识整合 一、指数及指数运算 (1)根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． (2)根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数. 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数. (3)指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘. (4)有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． (5)有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 二、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 1.指数函数常用技巧 (1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论． (2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快． 当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快． (3)指数函数与的图象关于轴对称． 二、考点分类精讲 【题型一 指数幂的化简与求值】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 【典例1】（2024高三·全国·专题练习）化简： (1)； (2) 一、解答题 1．（2023高三·全国·专题练习）化简： (1)； (2)． 2．（2023·山东·模拟预测）计算： (1)； (2) 3．（23-24高三上·内蒙古通辽·阶段练习）求值或化简 (1)计算：； (2)化简（用分数指数幂表示）： 【题型二 指数函数的图像与性质】 1.有关指数函数图象问题的解题思路 (1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． 2.比较指数幂大小的常用方法 单调性法 不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底 取中间值法 不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系 图象法 根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小 【典例1】（单选题）（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的图象可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【典例2】（单选题）（2024·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（单选题）（23-24高三上·山东潍坊·期中）函数的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 一、单选题 1．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东惠州·阶段练习）函数的图象大致为（    ） A．     B．   C．   D．   3．（2024·云南·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川成都·开学考试）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D．8 二、填空题 5．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标为 . 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 三、解答题 7．（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 8．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数. (1)当时，求的最大值和最小值； (2)若，使成立，求实数的取值范围. 【题型三 解指数不等式】 (1)解指数方程或不等式的依据 ①af (x)＝ag(x)⇔f (x)＝g(x)． ②af (x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f (x)＞g(