福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考（5月）数学试题

闽侯一中2023~2024学年度下学期第二次月考高一数学试卷 命题人：张平 核对人：张丹红 考试时间120分钟 试卷满分150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.在平行四边形中，点满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 的三个内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4.设，，是三个不同平面，且，，则“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则该圆锥表面积为（ ） A. B. C. D. 6.图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器现往内灌进一些水，设水深为h.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（ ） 图1 图2 A.3 B.4 C. D.6 7.已知等腰梯形，，，圆为梯形的内切圆，并与，分别切于点，，如图所示，以所在的直线为轴，梯形和圆分别旋转一周形成的曲面围成的几何体体积分别为，，则值为（ ） A. B. C. D. 8.在锐角三角形中，已知a，b，C分别是角A，B，C的对边，且，，则三角形的周长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知，，则（ ） A. B. C.与的夹角为 D.向量在向量方向上的投影向量为 10.设，，为复数，，下列命题中正确的是（ ） A.若则 B.若则 C.若则 D. 11.正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，已知一个正八面体的棱长都是2（如图），则（ ） A.平面 B.直线与平面所成的角为 C.若点为棱上的动点，则的最小值为 D.若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：.据此公式，复数的虚部为________. 13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，，则________. 14.在中，已知，，，D为边上一动点，过点D作一条直线交边于点E，. （1）若D为中点，且，则________. （2）设，则的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.如图，在平面四边形中，，，，，. （1）求边的长； （2）求的面积. 16.如图，在直三棱柱中，D，E分别为线段，上的点，且平面. （1）求证：； （2）当为的中点，时，求证：. 17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）设，若点是边上一点，，且，求a，c. 18.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中，分别在棱，上. （1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求多面体的体积. 19.设非零向量，，并定义 （1）若，，求； （2）写出之间的等量关系，并证明； （3）若，求证：集合是有限集. 闽侯一中2023-2024学年下学期第二次月考高一数学参考答案： 1.【答案】A【详解】∵∴，所以复数在复平面上的点为，所以点在第一象限 2.【答案】B【详解】因为为平行四边形，则有， ∴. 2.【答案】D【详解】由，，以及余弦定理得 4.【答案】B【详解】由，，，则，可能相交，故“”推不出“”，由，，，由面面平行的性质定理知，故“”能推出“”，故“”是“”的必要不充分条件. 5.【答案】A【详解】圆锥的底面半径为r，由圆锥的侧面积公式与扇形面积公式可得，即圆锥的底面半径，则. 6.【答案】B【详解】在图1中的几何体中，水的体积为，在图2的几何体中，水的体积为，因为，可得，解得. 7.【答案】C【详解】梯形旋转一周形成圆台，且圆台的上底面半径为，下底面半径为，由圆和梯形相切可得，，所以圆台高，圆半径，所以，，所以，. 8.【答案】C【详解】因为，根据正弦定理得，，因为为锐角，所以，所以，即，而为锐角，所以，因为根据正弦定理，所以，因为三角形周长为，又因为，所以，所以， 因为，