上海市大同中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市黄浦区大同中学高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.经过点，且方向向量为的直线方程是(    ) A. B. C. D. 2.若为常数，则(    ) A. B. 1 C. m D. 3.关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是(    ) A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于对称 D. 关于原点中心对称 4.古希腊数学家阿波罗尼奥斯用不同的平面截同一圆锥，得到了圆锥曲线，其中的一种如图所示.用过M点且垂直于圆锥底面的平面截两个全等的对顶圆锥得到双曲线的一部分，已知高，底面圆的半径为4，M为母线PB的中点，平面与底面的交线，则双曲线的两条渐近线所成角的余弦值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 5.直线的倾斜角为______. 6.椭圆的长轴的长为______. 7.抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程是______. 8.函数的导函数为______. 9.若方程表示的曲线是一个圆，则实数a的取值范围是______. 10.已知直线：与直线：平行，则______. 11.若方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围是______. 12.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是______. 13.直线为参数，和曲线为参数，交于P、Q两点，则______. 14.考虑这样的等腰三角形：它的三个顶点都在椭圆上，且其中恰有两个为椭圆的顶点，则这样的等腰三角形个数为______. 15.2022年卡塔尔世界杯会徽如图近似伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点、距离之积等于的点的轨迹称为双纽线已知点是双纽线C上一点，下列说法中正确的是______填上你认为所有正确的序号 ①双纽线C关于原点O中心对称； ②双纽线C上满足的点P有两个； ③； ④的最大值为 16.已知双曲线左右焦点分别为，，点P为右支上一动点，圆M与的延长线、的延长线和线段都相切，则______. 三、解答题：本题共5小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题9分 已知圆C经过点和，且圆心在直线l：上，求圆C的方程. 18.本小题9分 已知抛物线C的方程为，求过点且与抛物线C只有一个公共点的直线方程. 19.本小题10分 设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，且 若，且的周长为16，求； 若，求椭圆的离心率. 20.本小题10分 设函数，函数在点处的切线方程为 求的解析式； 证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 21.本小题10分 已知直线与椭圆E：有且只有一个公共点. 求椭圆E的方程； 是否存在实数，使椭圆E上存在不同两点P、Q关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； 椭圆E的内接四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于椭圆的左焦点，S是四边形ABCD的面积，求S的最小值. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查用点斜式求出直线的方程，属于基础题． 由题意求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程． 【解答】 解：由于直线的方向向量为，故直线的斜率为， 故直线的方程为，即， 故选： 2.【答案】D  【解析】解：， 故选： 根据极限的运算和导数的定义即可得解． 本题考查了导数的定义和极限的运算，是基础题． 3.【答案】D  【解析】解：对于A，将方程中y换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于x轴对称；所以A不正确； 对于B，将方程中x换为，则有， 则，与原方程不同，所以方程不关于y轴对称；所以B不正确； 对于C，将方程中x换为y，y换为x，则有， 与原方程不相同，所以方程不关于轴对称；所以C不正确； 对于D，将方程中x换为，y换为，则有， 则，与原方程相同，所以方程关于原点中心对称．所以D正确． 故选： 根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案． 本题考查曲线方程的应用，属于中档题． 4.【答案】B  【解析】解：设EF交OB于N， 以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为x轴建立如图所示坐标系， 因为圆锥的高，M是PB中点，且截面垂直于底面， 所以，所以， 又因为底面圆半径， 所以，所以， 设双曲线方程为， 将，代入解得， 则双曲线的两条渐近线方程为， 由对称性可知两条渐近线所夹锐角的正切值为， 所以双曲线两渐近线所夹锐角的余弦值为 故选： 以过M点且垂直于圆锥底面的平面的中心为原点，平行于圆锥的轴为x轴建立坐标系，求出M，E坐标代入双曲线方程，进而求得渐近线方程，先求出两渐近线