第3节 函数的奇偶性、周期性-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第二章　函数 第3节　函数的奇偶性、周期性 【知识梳理】 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于________对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于________对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个__________的正数，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期． 【真题呈现】 一、单选题 1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2021·全国·高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 9．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 11．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 12．（2021·全国·高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． 13．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【专项训练】 一、单选题 1．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知不恒为零的函数为定义在上的奇函数，且函数为偶函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（   ） A．2 B． C．0 D． 7．已知函数的定义域为R，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．若定义在上的函数满足，且，则下列结论错误的是（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D．是奇函数 二、多选题 9．函数的定义域为，且与都为奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 10．已知函数为偶函数，且，则下列结论一定正确的是（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为的周期函数 C．的图象关于直线轴对称 D．为偶函数 11．已知函数的定义域为R，，，则（    ） A． B．函数是奇函数 C． D．的一个周期为3 三、填空题 12．定义在R上的函数满足，且当，则＝ ． 13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则 ． 14．函数是定义在上的函数，且为偶函数，是奇函数，当时，，则 . 四、解答题 15．已知函数是定义在上的偶函数，当时，. （1）求函数的解析式，并画出函数的图象； （2）根据图象写出函数的单调递减区间和值域； （3）讨论方程解的个数. 16．已知定义在上的函数满足，当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； (3)解关于的不等式：（其中且为常数）. 17．已知函数是偶函数.当时，. (1)求函数在上的解析式； (2)若函数在区间上单调，求实数a的取值范围； (3)已知，试讨论的零点个数，并求对应的m的取值范围. 18．已知定义在全体实数上的函数满足：①是偶函数；②不是常值函数；③对于