专题4.2 简单几何体表面积与体积8大题型（期中复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题4.2 简单几何体表面积与体积（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型02棱柱、棱锥、棱台的体积 题型03圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型04圆柱、圆锥、圆台的体积 题型05球的表面积与体积 题型06 组合体的体积 题型07 简单几何体的体积之比 题型08装水体积问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 掌握各面分别求和的方法；熟练运用柱、锥、台体积公式；理解锥体体积为柱体的​，台体可补形或切割为锥体 基础必考，常以直观图或三视图给出，注意棱台侧面为梯形，高为两底面间垂直距离 圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积 掌握侧面展开图法（矩形、扇形、扇环）求侧面积；熟练运用体积公式；理解圆台公式与圆柱、圆锥的递推关系 高频考点，侧面展开是核心思想，公式结构清晰，圆台上下底相等时退化为圆柱，上底为0时退化为圆锥 球的表面积与体积 熟记球的表面积与体积公式；能根据条件求半径；掌握截面法找球心，解决外接球和内切球问题 必考内容，常与正方体、长方体、圆柱等结合考查切接问题，需通过截面确定球心位置和半径 组合体的体积 能识别组合体的构成（拼接或挖空）；掌握“割补法”，将组合体分解为基本几何体分别计算后求和或作差 综合题型，需具备空间想象能力，准确识别几何体之间的位置关系和公共部分 简单几何体的体积之比 掌握利用相似比求体积比（相似比立方等于体积比）；能通过等高或等底关系建立比例方程 中等难度，常在选择题中出现，利用比例关系可避免具体数值计算，简化求解过程 装水体积问题 能根据容器形状和液面位置判断几何体形状；掌握“等体积法”求高度或半径；理解旋转或倾斜时液面形状的变化 应用类题型，注重建模能力，需将实际问题转化为几何体体积问题，常见于旋转体容器（圆柱、圆锥、球）中 知识点01 简单几何体表面积 1、 表面积公式 柱体：；为直截面周长； 锥体：； 台体：； 球 ： 2、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 知识点02 简单几何体体积 1、体积公式 柱体： 锥体： 台体： 球： 2、 不规则体的体积： 将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体积相加。 3、 组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 解｜题｜技｜巧 1、对规则的棱柱、棱锥、棱台的表面积，直接使用公式。 2、对不规则的图形，则可以对表面积进行分割拆解，对各处面积求解，然后求和。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长． 【答案】高为，侧棱长为 【详解】如图，在三棱台中，分别为上、下底面的中心，分别是的中点，连接，，，，则是等腰梯形的高， 所以． 又，， 则上、下底面面积之和为． 由，得，所以， 又，， 所以棱台的高为 ． 在直角梯形中， ，，， ． 故棱台的高为，侧棱长为． 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1，2，侧棱长为，则该四棱台的高为______，侧面积为______． 【答案】 【详解】设四棱台的上、下底面中心分别为，连接，，， 则四边形为直角梯形，为四棱台的高． ，，，， 又，． 在侧面中，，，， ∴斜高为，． 【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为______________和______________． 【答案】 【分析】利用四棱锥侧面积和表面积公式求解即可. 【详解】正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成． ，， ∴斜高． 因此， ． 故答案为：； 【变式2】（25-26高一上·上海黄浦·月考）两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体，该几何体的表面积为___________． 【答案】 【分析】根据正方体表面积公式计算求解. 【详解】因为两个棱长分别为1和2正方体叠起来得到的几何体， 该几何体的表面积为． 故答案为： 题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 答｜题｜模｜板 1、直接使用体积公式求体积。 2、对锥体，等体积法式常用的求体积方式，选用合适的底面与高。 3、对不规则图形，可以讲几何体补成规则图形或者将图形分割成几部分。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示的正方体的棱长为a，则三棱锥的高为____________；体积为____________． 【答案】 【分析】利用正方体体积与三棱锥体积关系求，再求面积，用体积公式求三棱锥的高. 【详解】设三棱锥的高为h， 在正方体中，， 所以是等边三角形，即， 所以， 又因为， 所以，所以， 所以三棱锥的高为． 故答案为：，. 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在棱长为4的正方体中，是上一点，且，则四棱锥的体积为________. 【答案】 【分析】根据锥体的体积公式计算即可. 【详解】， . 【变式1】（25-26高一下·湖北随州·月考）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是________. 【答案】/ 【分析】根据题意可知正八面体的底面边长以及高，代入公式即可求解. 【详解】根据图示正八面体的结构，底面为边长为的正方形，正四棱锥的高为正方体棱长的一半，即， 所以正八面体的体积为. 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）若一个三棱台的上、下底面面积分别为8，18，高为5，则该棱台的体积为______________． 【答案】 【分析】利用台体的体积公式计算即可. 【详解】解析：． 故答案为： 题型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 答｜题｜模｜板 将立体图形的侧面展开为平面图形，计算侧面积后加上底面积。 注意： 1、确定图形类型（圆柱/圆锥/圆台），明确求的是侧面积还是全面积。 2、标出已知量（半径、高、母线等），通过勾股定理或相似补全未知量（尤其是母线），选择公式（或展开法）计算侧面积。计算底面积（注意圆台有两个底面），合并得表面积。 3、区分母线长与 高，圆锥、圆台的侧面积公式用母线长，不是高。 4、题目若要求“内外表面积”（如空心圆柱），要分别计算内外侧面积。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来大圆锥的侧面积的比是，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用相似圆锥侧面积比等于相似比的平方求出高的相似比，再通过总高减去小圆锥高得到圆台高，从而得到两段高的两种顺序的比例. 【详解】 设大圆锥的高为，底面半径为，母线长为；小圆锥的高为，底面半径为，母线长为，圆锥侧面积公式为 ； 由题意，侧面积比为：，因为，所以相似比满足：， 代入侧面积比，可得：，解得，即：， 截面将大圆锥的高分为两段：小圆锥的高和圆台的高， 两段的比为：，若将两段顺序颠倒，则比为：， 因此，这个截面把圆锥的高分成的两段的比是或. 【典例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）若一个圆锥的轴截面是面积为的正三角形，则这个圆锥的表面积为_____． 【答案】 【分析】利用圆锥的表面积公式求解即可. 【详解】设圆锥母线长为a，结合三角形面积计算公式，得到，解得（负值舍去）， 所以底面半径，底面积，所以侧面积，所以圆锥的表面积为． 故答案为： 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，圆台的上、下底面半径分别为和，母线，从圆台母线的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点．则绳子的最短长度为______；当绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为______．    【答案】 4 【分析】将圆台侧面展开，利用两点之间线段最短即可求解第一空，第二空求点到线距离即可.. 【详解】如图所示，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中的长度．    设，由得，所以， ，． 在中，． 所以绳子的最短长度为． 如图所示，过O作于Q，交弧于P，则长为所求最短距离． 因为，即，所以， 所以，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为． 故答案为：，. 【变式2】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，中的三边长分别是，，，则以边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积为______________． 【答案】 【分析】因为为直角三角形，由题意可知得到的旋转体是两个同底的圆锥，且底面半径，母线长分别是3，4，求出两圆锥的侧面积之和即可. 【详解】在中，作交于点，如下图： 又，，，则， ，． 那么以的边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得到的旋转体是两个同底的圆锥， 且底面半径，母线长分别是3，4， 故答案为：. 题型四 圆柱、圆锥、圆台的体积 答｜题｜模｜板 柱体、锥体、台体的体积公式可统一为“底面积乘高”及相应比例关系，核心是理解公式间的关联与区别。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）底面直径为2的圆柱，被一平面所截，截得的几何体中，最短的母线长为2，最长的母线长为4，求此几何体的体积． 【答案】 【分析】将此几何体拼接上一个同样的几何体得到圆柱，该圆柱体积的一半即为所求几何体的体积. 【详解】将此几何体拼接上一个同样的几何体，可得到母线长为6的圆柱． 所以其体积为． 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知某圆台的上、下底面面积分别是，，侧面积是，则这个圆台的体积______________． 【答案】 【分析】根据圆的面积公式和圆台的侧面积公式求出圆台的上、下底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆台的高，最后利用圆台的体积公式求解. 【详解】设圆台的上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，高为h， 则，，，． 又，， ， ． 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·上海浦东新·期中）圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的，则体积变为原来的（   ） A．0.5倍 B．1倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【分析】利用圆柱的体积公式，直接计算求解即可. 【详解】设原来的圆柱体积为，底面半径为，高为，变化后的圆柱的体积为， 则，=，所以体积变为原来的2倍. 故选：C 【变式2】（25-26高二上·贵州毕节·期中）已知圆柱和圆锥的底面半径相等、侧面积相等，且圆锥的母线与底面所成的角为，圆柱的体积为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆柱和圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，母线长为，根据题意，求得和，结合圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱和圆锥的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的高为，母线长为， 因为圆锥的母线与底面所成的角为，可得， 又因为圆柱的体积为，可得，解得， 因为圆柱和圆锥的侧面积相等，可得，解得， 所以，所以圆锥的体积为. 故选：C. 题型五 球的表面积与体积 答｜题｜模｜板 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球. 常见模型与策略： 1、长方体（正方体）的外接球：球心在对角线交点，半径等于体对角线长的一半。 2、正多面体的外接/内切球：利用对称性，球心在中心，构造直角三角形求半径。 3、棱锥的外接球：关键找球心位置。常通过： 底面外心作垂线（适用于侧棱相等或侧棱与底面成等角的棱锥）。 或寻找到各顶点距离相等的点。 球与球的关系（相切、相交）：抓住球心距与两球半径的关系。 【典例1】（25-26高一下·浙江金华·月考）已知正四棱台中，棱台体积为，则该四棱台的外接球表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由正棱台的体积可得正四棱台的高，再根据球的几何性质可得球的半径，进而可得球的表面积. 【详解】如图： 因为正四棱台上下底面均为正方形，上底面边长，对角线，外接圆半径. 下底面边长，对角线，外接圆半径. 设正四棱台的高为，则体积为，解得. 过正四棱台的对角面作截面，设外接球的球心为P，截面图如下： 设，则，所以， ，所以， 即，解得，所以外接球的半径为， 所以正四棱台的外接球的表面积. 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由球的体积公式可求得球的半径，由题意可得正方体的体对角线长度为，进而可求得正方体的棱长. 【详解】由球的体积为，可得球的半径满足，解得， 因为正方体的所有顶点在一个球面上，则有正方体的体对角线长度为， 设正方体的棱长为，则有，解得， 故选：C. 【变式1】（25-26高一下·全国·课后作业）球面上有三个点，其中任意两点的球面距离（经过两点的大圆在这两点之间的一段劣弧的长度）都等于大圆周长的，经过这三个点的小圆的周长为，那么这个球的半径为________，表面积________． 【答案】 【分析】根据题意画出图象，根据几何关系求出球的半径，然后根据球的表面积公式求出结果. 【详解】如图所示，设这三个点是，，，球的半径为所在的小圆半径为，则，即． 三点中任意两点的球面距离是大圆周长的， ． ， ． 是半径为2的圆的内接等边三角形． ， ，则． 【变式2】（25-26高一下·全国·课后作业）球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧面积之比为，则球的体积与圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出圆台和球的轴截面，设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，依据和全等得到，同理得到，进而得到母线长为，接着利用和相似得到，再由已知得到即可由球和圆台的体积公式计算求解. 【详解】如图所示，作圆台的轴截面等腰梯形，则球的大圆内切于梯形， 设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为， 则圆台的高为，设E为大圆与梯形的切点， 则在和中有， 所以和全等，所以，同理， 所以母线长为． 由上可知， 又（为切点），所以， 所以和相似，则， ， 由已知，， ． 题型六 组合体的体积 答｜题｜模｜板 组合体体积常见解法 （1）补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大小几何都能直接求解的； （2）切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案，适用于不规则几何都能分割成常规几何的. 【典例1】（25-26高一上·北京·期末）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面平面ABC，平面平面ABC，，.若，则该多面体的体积为（    ） A．64 B．60 C．56 D．52 【答案】B 【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱和四棱锥后结合体积公式可求几何体的体积. 【详解】连接，因为且，故，同理，而，故直角梯形与直角梯形全等， 故， 在直角梯形中，过作，垂足为， 则四边形为矩形，且为以为直角的等腰直角三角形， 故， 平面平面，平面平面， 平面，故平面， 取的中点为的中点为的中点为，连接， 则，同理可证平面，而平面， 故平面平面，同理平面平面， 而平面平面，故平面， 故，故四边形为平行四边形，故. 在平面中过作，交于，连接. 则四边形为平行四边形，且，故， 故四边形为平行四边形， 而平面BHT， 故平面，故平面平面BHT， 而，故， 故几何体为直棱柱，而，故， 因为，故平面，而平面，故平面平面， 在平面中过作，垂足为，同理可证平面， 而，故，故， 由对称性可得几何体的体积为. 故选：B 【典例2】（25-26高一上·北京·期末）如图，在长方体中抹去八个形状与大小都相同的三棱锥.其中，，E为的中点，F与G分别是棱与棱上的点，且满足.已知抹去之后的体积是长方体体积的，则的长度为___________，长方体的体对角线长度为___________. 【答案】 1 4 【分析】由题意结合柱体和锥体的体积公式建立关于的方程，求出即可计算求解长方体的体对角线长度. 【详解】，，E为的中点，， 由题长方体体积为 所以抹去的八个形状与大小都相同的三棱锥的体积之和为， 所以， 所以长方体的体对角线长度为. 故答案为：1；4 【变式1】（2025高一·全国·专题练习）祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异.”并用它推导出了球的体积公式．我们可以将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式．图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面，正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆．模仿球的体积计算方法，利用祖暅原理求该几何体的体积． 【答案】 【分析】根据题意“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积，根据三视图的数据即可求解. 【详解】如图，构造一个几何体“M”，将与帐篷同底等高的正四棱柱挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥， 用平行于底面的平面截帐篷和该几何体． 设截面到帐篷底面的距离为，易得其截面的对角线长为，所以其面积为， 截几何体“M”得“回字形”截面面积也是， 因此，由祖暅原理知帐篷与几何体“M”的体积相等， 体积． 【变式2】（2025·海南海口·模拟预测）石墩是常见的维护交通秩序的道路设施．某路口放置的石墩（如图），其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm，则石墩的体积为（   ） （注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积，其中为原球半径，为球缺的高．） A．4374cm3 B．5048cm3 C．5336cm3 D．7260cm3 【答案】C 【分析】根据球的几何性质确定求缺的高以及圆台的高，再根据球缺与圆台的体积公式即可得组合体石墩的体积. 【详解】如图，为整个几何体的高度，设为球心，分别为圆台上下底面圆心， 则，，， 所以，则球缺的高， 则圆台的高， 故石墩的体积为 . 故选：C. 【点睛】方法点睛：组合体体积常见解法 （1）补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大小几何都能直接求解的； （2）切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案，适用于不规则几何都能分割成常规几何的. 题型七 简单几何体的体积之比 答｜题｜模｜板 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 关键模型与技巧 1、“割补法”与“分割法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体相减等情况。 2、“等底面积”或“等高”模型： 若两个锥体（或柱体）底面积相等，则体积比等于高的比。若两个锥体（或柱体）高相等，则体积比等于底面积的比。 【典例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）在正方体中，，，分别是，，的中点，过，，三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先作出过，，三点的截面为五边形，根据相似，求解长度，根据体积公式即可求解. 【详解】如图，延长，相交于，连接，交于， 同理可作，则，，三点的截面为五边形， 不妨设正方体棱长为1，则，所以， 又，所以． 同理可得，， 可知截得较小部分体积， 所以， 又立方体体积为1，所以较大部分与总体积之比为． 故选：C． 【典例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，三棱台中，，则三棱锥，，的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱锥和三棱台的体积公式，分别求出相应多面体的体积，再计算体积之比． 【详解】设棱台的高为，，则， ， ， 又， ， ，故C正确． 故选：C． 【变式1】（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在三棱柱中，、分别为、的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 【答案】 【分析】截面将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台，另一部分是一个不规则几何体，故可以用棱柱的体积减去棱台的体积求得． 【详解】设棱柱的底面积为，高为，则的面积为， 令， 剩余的不规则几何体的体积为， 所以两部分的体积之比为． 【变式2】（2026·河南·模拟预测）已知圆台的母线长为l，半径为R的球C与圆台的上、下底面及母线都相切，且，则圆台与球C的体积之比为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】设圆台上底面半径为，下底面半径为，且，根据题意求得，根据圆台、球的体积公式计算即可求解. 【详解】如图，设圆台上底面半径为，下底面半径为，且， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的，母线长， 在中，，即， 所以，故， 因为， 球的体积为， 圆台与球C的体积之比为. 题型八 装水体积问题 答｜题｜模｜板 1、水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。 2、转化思想：将“求水位高度”转化为“已知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 3、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 4、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 5、临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可能是棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和）。 【典例1】（25-26高一下·全国·课后作业）如图，往透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形的面积不改变；③当在上时，是定值． 其中，正确的说法是（   ） A．①② B．① C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】根据棱柱的特征，结合图形对三个命题逐一进行分析判断即可． 【详解】显然水的部分呈棱柱状，故①正确； 易知四边形是矩形，且保持不变，随着倾斜度的不同，长度也变化， 所以四边形面积也变化，故②不正确； 由于水的体积不变，即四棱柱的体积不变， 易知四棱柱的高为，即为定值， 故梯形的面积为定值，即为定值， 由于为定值，故是定值，故③正确， 所以三个命题中①③正确. 【典例2】（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线，若母线放置在水平地面上时，水面恰好过的中点，那么当底面圆水平放置时，水面高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得. 【详解】如图， 设圆柱底面半径为，则当母线水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形为底，为高的柱体， 因为水面过的中点，则， 则弓形的面积为， 当底面圆水平放置时，底面圆的面积为，设水面高为， 则由水的体积不变可得：，即， 解的：. 故选：. 【变式1】（多选）（25-26高三上·江苏南通·月考）一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（  ） A．水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形 B．水面可能是正三角形 C．当经过时，与面的交线长为 D．当逆时针旋转时，水面的面积为 【答案】ABCD 【分析】找到临界情况，利用等体积、体积转化，分析此时的情况，逐个选项判断即可. 【详解】A选项，水的体积， ， 所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3， 当水面经过点时，水面与面相交，如图4， 则在此之前水面形状均为三角形， 继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5， 转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确； B选项，初始位置，如图1，， 当水面经过时，如图3，此时， 所以，， 所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项正确； C选项，如图4，，且由于与相似， 则， ，故C选项正确； D选项，当逆时针旋转时，如图6，， 且由于与相似，则，则， 则水面的面积为，故D选项正确. 【变式2】（24-25高一上·山东青岛·月考）如图，一个盛满水的可以转动的三棱锥容器，三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知道，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的______. 【答案】 【分析】要使容器盛水最多，水面只能与平面平行，所以所装水体积就是几何体的体积，结合棱锥的性质得出. 【详解】如图，因，则，又因为， 得与相似，所以， 设点到平面的距离分别为，则. 要使容器盛水最多，水面只能与平面平行， 所以所装水体积就是几何体的体积. 所以， 得 故答案为：. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 【答案】C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 2．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为的正方形和正三角形，则它们的表面积可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】，. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）圆柱的侧面展开图是长12cm、宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则，或， 或， 或. 4． （2026高一下·全国·专题练习）已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（   ） A．7 B．6 C．5 D．3 【答案】D 【详解】设圆台较小底面的半径为，则另一底面的半径，由该圆台母线长为7，侧面积为， 得，所以. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是______． 【答案】 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，母线长， 则圆台的侧面面积． 故答案为： 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·天津西青·期末）已知一个矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为______cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为______ 【答案】 9 【分析】设出未知数，表达出圆柱的侧面积，配方得到最大值，得到答案. 【详解】矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的边长为cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大， 则圆柱的高为cm，则圆柱的底面半径为cm， 则圆柱的侧面积为， 故当矩形的边长为9cm时，旋转形成的圆柱的侧面积最大，最大侧面积为. 故答案为：9， 2．（25-26高一下·全国·单元测试）如图所示，已知正方体的棱长为，，分别是，的中点，求四棱锥的体积． 【答案】． 【分析】设到平面的距离为，到平面的距离为，结合正方体性质可得，求出的面积，再根据关系结合锥体体积公式求结论. 【详解】连接，． 设到平面的距离为，到平面的距离为． ∵正方体的棱长为，，分别是，的中点， ． 又， ． 3．（25-26高三上·天津·期中）三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年．2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮．玉琮是一种内圆外方的圆筒型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器．假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用组合体体积减去圆柱体体积就可得结果. 【详解】    计算正方体体积：， 计算上下两个圆柱的体积：， 再计算内空圆柱的体积：， 最后可得组合体体积： 故选：A 4．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长的正方形中，以点为圆心画一个扇形，以点为圆心画一个圆，为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆为圆锥底面，围成一个圆锥，求该圆锥的体积．    【答案】 【分析】利用圆锥侧面展开的扇形弧长与底面圆周长相等，加上相切条件得到圆锥母线与底面半径的方程组，解方程组后再利用勾股定理得到圆锥的高，最后可用锥体体积公式得到答案. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， 由已知可得， 解得，，， 所以． 5．（2026·陕西商洛·一模）在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，．若点均在球的表面上，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，分析可得四边形必为等腰梯形，即可求出所需长度，分析可得，梯形的面积为定值，要使四棱锥的体积最大，必有平面，则球心在上，根据勾股定理，求出半径R，代入公式，即可得答案. 【详解】由题意可得共圆，且， 所以四边形必为等腰梯形，如图所示， 取中点，中点，则， 因为，，则， 所以，则， 所以梯形的面积为定值． 因为是等腰直角三角形，为斜边的中点，，所以， 要使四棱锥的体积最大，必有平面，此时平面， 而点为的外心，因此球心在上， 设，球的半径为， 则，即，解得， 所以，球的表面积． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·全国·课后作业）如图，，分别为长方体的棱，的中点. (1)求证：， (2)当长方体每条棱都相等时，求该几何体与其外接球的体积之比. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，先证明四边形都是平行四边形，得到，再根据等角定理即可得证； （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体，设正方体的棱长为，找到正方体的体对角线与外接球的直径的关系， 即，再根据正方体及球的体积公式计算，即可求出其体积之比. 【详解】（1） 如图所示，连接， 是长方体，，分别为棱，的中点， 由长方体的性质可知且， 四边形都是平行四边形， ， 又因为角的两边与，与方向相同， 所以由等角定理可知，. （2）当长方体每条棱都相等时，长方体变为正方体. 设正方体的棱长为， 正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线长， 所以，即. 所以正方体的体积； 球的体积， 所以该几何体（正方体）与其外接球的体积之比为： . 2．（2025·河南焦作·三模）我们把几何体的表面积与体积之比称为“相对积”．已知三棱锥中，分别在棱上，且截面与底面平行，，则三棱锥与三棱锥的相对积之比为______． 【答案】 【分析】利用相似比以及棱锥的体积和表面积公式即可. 【详解】设三棱锥、三棱锥的体积分别为，表面积分别为， 高分别为， 因为，所以，，， 则，， 则三棱锥与三棱锥的相对积之比为． 故答案为： 3．（25-26高三上·山东日照·月考）如图，一个三棱柱容器中盛有水，若底面水平放置时，水面高为3，那么当侧面水平放置时，水面恰好经过，，，的中点，则（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出水的体积，再得到四边形的面积，根据水的体积得到方程，求出答案. 【详解】水的体积， 又分别为，的中点， 故四边形的面积为， 故， 又，所以，解得. 故选：C 4．（24-25高三上·天津河东·期末）如图，正三棱柱的底面边长为1，高为3，已知为棱的中点，分别在棱上，，记四棱锥，三棱锥与三棱锥的体积分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件分别计算出的值，即可求解. 【详解】由题意知：， ， . ，，. 故选：C. 5．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，三棱锥S-ABC形的容器（忽略容器的器壁）内部装满了水，在三条侧棱上各凿出一个小洞D，E，F（将三个小洞视为质点D，E，F），且，则这个容器最多可装原来水的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应成比列得出，再结合三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，连接， 当平面平行于水平面时，容器可盛水最多． 因为，所以 又，所以点F到平面的距离是点C到平面的距离的 故    ，即这个容器最多可装原来水的 故选：A. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.2简单几何体表面积与体积（期中复习讲义) 内容导航 明。期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01棱柱、棱锥、棱台的表面积 题型02棱柱、棱锥、棱台的体积 题型03圆柱、圆锥、圆台的表面积 题型04圆柱、圆锥、圆台的体积 题型05球的表面积与体积 题型06组合体的体积 题型07简单几何体的体积之比 题型08装水体积问题 过分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期中考情 核心考点 复习目标 考情规律 棱柱、棱锥、棱 掌握各面分别求和的方法；熟练运用柱、 基础必考，常以直观图或三视图给出，注意 台的表面积与体 锥、台体积公式：理解锥体体积为柱体的 棱台侧面为梯形，高为两底面间垂直距离 积 ， 台体可补形或切割为锥体 圆柱、圆锥、圆 掌握侧面展开图法（矩形、扇形、扇环） 高频考点，侧面展开是核心思想，公式结构 台的表面积与体 求侧面积；熟练运用体积公式；理解圆台 清晰，圆台上下底相等时退化为圆柱，上底 积 公式与圆柱、圆锥的递推关系 为0时退化为圆锥 球的表面积与体 熟记球的表面积与体积公式：能根据条件 必考内容，常与正方体、长方体、圆柱等结 积 求半径；掌握截面法找球心，解决外接球 合考查切接问题，需通过截面确定球心位置 和内切球问题 和半径 组合体的体积 能识别组合体的构成（拼接或挖空）； 综合题型，需具备空间想象能力，准确识别 1/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 握“割补法”，将组合体分解为基本几何体 几何体之间的位置关系和公共部分 分别计算后求和或作差 简单几何体的体 掌握利用相似比求体积比（相似比立方等 中等难度，常在选择题中出现，利用比例关 积之比 于体积比)：能通过等高或等底关系建立 系可避免具体数值计算，简化求解过程 比例方程 装水体积问题 能根据容器形状和液面位置判断几何体 应用类题型，注重建模能力，需将实际问题 形状；掌握“等体积法”求高度或半径；理 转化为几何体体积问题，常见于旋转体容器 解旋转或倾斜时液面形状的变化 (圆柱、圆锥、球)中 记·必备知识 局知识点01简单几何体表面积 1、表面积公式 柱体：S直餐柱=ch+2S底：S斜棱柱=c1+2Sc为直截面周长）：S国=2πr2+2πrl=2πr+) 锥体：S正校=专nah+S底：S圆谁=πr2+πrl=πrr+) 台体：S正校台=na+a)h+S上+S下：S国台=π(r2+r2+r1+rl 球：S=4πR2 2、求组合体的表面积：组合体的表面积要注意镂空的部分、叠加的部分的表面积的加减。 ⑧知识点2简单几何体体积 1、体积公式 柱体：V柱=Sh 锥体：V雠=Sh 台体：V台=s+VSs+sh 球：V=青πR3 2、 不规则体的体积：将不规则的几何体进行切割分成锥体或者台体等能求出体积的图形，将切割后的体 积相加。 3、组合体的体积：几个组合体分开求体积相加。 2/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 破·重难题型 它题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积 解|题|技|巧 1、对规则的棱柱、棱锥、棱台的表面积，直接使用公式。 :2、对不规则的图形，则可以对表面积进行分割拆解，对各处面积求解，然后求和。 【典例1】(25-26高一下·全国·课堂例题)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正 三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上、下底面面积之和，求棱台的高和侧棱长， 【典例2】(25-26高一下·全国课后作业)四棱台的上、下底面均为正方形，它们的边长分别为1,2，侧 棱长为√2，则该四棱台的高为，侧面积为 【变式1】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，己知正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹 角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为 和 【变式2】(25-26高一上·上海黄浦·月考)两个棱长分别为1和2的正方体叠起来得到如图所示的几何体， 该几何体的表面积为 它题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 答|题模|板 :1、直接使用体积公式求体积。 2、对锥体，等体积法式常用的求体积方式，选用合适的底面与高。 3、对不规则图形，可以讲几何体补成规则图形或者将图形分割成几部分。 【典例1】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示的正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为a,则三棱锥 3/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,-AB,D的高为 ;体积为 O C A, D 【典例2】(25-26高一下.全国·课堂例题)如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P是AB,上 点，且PB=44B,则四棱锥P-BCCB,的体积为 D C B B 【变式1】(25-26高一下·湖北随州·月考)在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞 框架（棱长2cm的正方体），用来展示NaC1晶体中Na的八面体配位环境：CI位于立方体的各面中心位置， 它们构成一个正八面体包围中心的Na,则该正八面体CT配位多面体模型的体积是 cm' oNat.Cl- 【变式2】(25-26高一下·全国·课后作业)若一个三棱台的上、下底面面积分别为8,18，高为5，则该棱 台的体积为 ☑题型三 圆柱、圆锥、圆台的表面积 答|题|模|板 将立体图形的侧面展开为平面图形，计算侧面积后加上底面积。 注意： 1、确定图形类型（圆柱/圆锥/圆台），明确求的是侧面积还是全面积。 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2、标出已知量（半径、高、母线等），通过勾股定理或相似补全未知量（尤其是母线），选择公式（或展开 法)计算侧面积。计算底面积（注意圆台有两个底面），合并得表面积。 3、区分母线长与高，圆锥、圆台的侧面积公式用母线长，不是高。 4、题目若要求“内外表面积”（如空心圆柱），要分别计算内外侧面积。 【典例1】(25-26高一下，全国·课后作业)用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得小圆锥的侧面积与原来 大圆锥的侧面积的比是1：3，则这个截面把圆锥的高分成的两段的比是() A.1:3 B.1:3-1 C.1:9 D.（3-1 【典例2】(25-26高一下·全国·课堂例题)若一个圆锥的轴截面是面积为√5的正三角形，则这个圆锥的表 面积为 【变式1】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5cm和10cm,母线 AB=20cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到A点.则绳子的最短长度为；当 绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离为 cm 【变式2】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示，ABC中的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5 ,则以AB边所在直线为轴，将此三角形旋转一周所得旋转体的表面积S为 B 立题型四圆柱、圆锥、圆台的体积 答|题模|板 柱体、锥体、台体的体积公式可统一为“底面积乘高”及相应比例关系，核心是理解公式间的关联与区别。 【典例1】(25-26高一下·全国课堂例题)底面直径为2的圆柱，被一平面所截，截得的几何体中，最短 的母线长为2，最长的母线长为4，求此几何体的体积. 5/15 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4 【典例2】(25-26高一下·全国·课后作业)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则 这个圆台的体积V= 【变式1】(25-26高二上上海浦东新期中)圆柱底面直径扩大为原来的2倍，高缩小为原来的；，则体 积变为原来的() A.0.5倍 B.1倍 C.2倍 D.4倍 【变式2】(25-26高二上·贵州毕节·期中)已知圆柱和圆锥的底面半径相等、侧面积相等，且圆锥的母线 与底面所成的角为60，圆柱的体积为8π，则圆锥的体积为() A. 8V5 3 x B.2√3π C. 3 D.93元 正题型五 球的表面积与体积 答|题模板 常见的与球有关的组合体问题有两种：一种是内切球，另一种是外接球。 常见模型与策略： 1、长方体（正方体）的外接球：球心在对角线交点，半径等于体对角线长的一半。 2、正多面体的外接/内切球：利用对称性，球心在中心，构造直角三角形求半径。 3、棱锥的外接球：关键找球心位置。常通过： 底面外心作垂线（适用于侧棱相等或侧棱与底面成等角的棱锥）。 或寻找到各顶点距离相等的点。 球与球的关系（相切、相交）：抓住球心距与两球半径的关系。 【典例1】(25-26高一下·浙江金华·月考)己知正四棱台ABCD-A,B,C,D,中AB=4,A,B,=2,棱台体积为 28V2 3 则该四棱台的外接球表面积为（) A.20元 B.40π C.40W10m D. 20W5元 3 3 【典例2】(25-26高一下·全国课后作业)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9 则正方体的棱长为() 6/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.6 B.3 C.5 D.1 2 2 【变式1】(25-26高一下·全国·课后作业)球面上有三个点，其中任意两点的球面距离（经过两点的大圆 在这两点之间的一段劣弧的长度)都等于大圆周长的二，经过这三个点的小圆的周长为4π，那么这个球的 半径为 表面积 【变式2】(25-26高一下·全国·课后作业)球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与圆台的侧 面积之比为3：4，则球的体积与圆台的体积之比为() A.6:13 B.5:14 C.3:4 D.7:15 它题型六 组合体的体积 答|题模|板 组合体体积常见解法 (1)补形法：将不规则的几何体补成常规几何体，利用大几何体体积减去小几何体体积得答案，适用于大 小几何都能直接求解的； (2)切割法：将不规则的几何体分割成若干个常规几何体，将所有切割部分的小几何体体积合起来得答案， 适用于不规则几何都能分割成常规几何的 【典例1】(25-26高一上·北京期末)某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的 多面体，其中ABCDEF是一个平面多边形，平面AFR⊥平面ABC,平面CDT。⊥平面ABC, JIRS /ICD,BCIIDE IIST,IIAF AB=RC=8.AF=CD=4.RA=RE 则该多面体的体积为() R A.64 B.60 C.56 D.52 【典例2】(25-26高一上·北京·期末)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中抹去八个形状与大小都相同的三 棱锥.其中AB=BC=x,AA=2,E为AA,的中点，F与G分别是棱AD与棱AB上的点，且满足 4E=4F=AG已知抹去之后的休积是长方体4BCD-ABCD体积的)，则4征的长度为 长 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 方体ABCD-A,B,C,D的体对角线长度为 【变式1】(2025高一·全国·专题练习)祖暅是我国南北朝时期的伟大数学家，他在实践的基础上提出了体 积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”并用它推导出了球的体积公式.我们可以将半球的体积 转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积公式.图1是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意 平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图2所示，其中正视图 的投影线方向垂直于平面AOC,正视图和侧视图中的曲线均是半径为1的半圆.模仿球的体积计算方法， 利用祖暅原理求该几何体的体积。 正视图 侧视图 俯视图 图1 图2 【变式2】(2025海南海口·模拟预测)石墩是常见的维护交通秩序的道路设施.某路口放置的石墩（如图）， 其上部是原球半径为15cm的球缺，下部可看作是上、下底面半径分别为9cm、16cm的圆台，球缺的截面 圆与圆台的上底面完全吻合，整个石墩的高为33cm,则石墩的体积为() (注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高，球缺的体积 -写3R-小的，其巾R为原球半径，A为球缺的高) A.4374ncm3B.5048cm3 C.5336ncm3 D.7260ncm3 8/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 它题型七 简单几何体的体积之比 答|题模板 通用方法 直接公式法：若两个几何体形状规则（同底同高或等底等高），直接代入体积公式相比。 等积变形法：利用“同底等高的锥体（柱体）体积相等”进行等体积转化。 比例法：抓住影响体积的关键变量（底面积、高），分别求出它们的比例，再相乘得到体积比。 关键模型与技巧 1、“割补法”与“分法”： 将复杂几何体切割成若干个易于求体积比的简单几何体。尤其适用于棱锥被平面分割、台体还原为锥体相 减等情况。 2、“等底面积”或“等高”模型： 若两个锥体（或柱体）底面积相等，则体积比等于高的比。若两个锥体（或柱体）高相等，则体积比等于 底面积的比。 【典例1】(25-26高一下·全国课堂例题)在正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F,G分别是CD,AD, CC的中点，过E,F,G三点的截面把正方体分成两部分，则体积较大的部分与正方体体积之比为() 1313 B. 9 C.119 49 A. 1616 72 144 D.72 【典例2】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，三棱台ABC-ABC,中，AB:AB,=1:2,则三棱锥 A-ABC,B-AB,C,C-A,B,C,的体积之比为() 2- B A.1:1:1 B.1:1:2 C.1:2:4 D.1:4:4 【变式1】(25-26高一下·全国·课堂例题)如图所示，在三棱柱ABC-A,B,C,中，E、F分别为AB、AC的 中点，平面EB,C,F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式2】(2026河南·模拟预测)已知圆台O,O的母线长为1，半径为R的球C与圆台O,O的上、下底面 及母线都相切，且1=√5R,则圆台O,O与球C的体积之比为() A.5 B.25 C.2 D.22 它题型八 装水体积问题 答|题模|板 1、水的体积是定值：无论容器如何放置，水的体积保持不变。 2、 转化思想：将“求水位高度”转化为“己知体积（水体积）和几何体形状，反求高度”。 3、画轴截面图：将立体问题转化为平面几何问题，在截面中观察水位线与容器边界的交点关系。 4、相似比优先：对于锥体或台体，优先考虑相似关系建立方程。 5、临界点判断：若容器被倾斜或非标准放置，先确定水平面与容器边界的交点，判断水的形状（可 能是棱柱、棱台或不规则体，常分割为规则体求和)。 【典例1】(25-26高一下·全国·课后作业)如图，往透明塑料制成的长方体ABCD-A,B,C,D,容器内灌进 些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法： ①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③当E在AA,上时，AE+BF是定值， 其中，正确的说法是() A B G A.①② B.① C.①②③ D.①③ 【典例2】(2025新疆乌鲁木齐.一模)如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线AA=4,若母线AA放 10/15