第3节 等式性质与不等式性质-2025年新高考数学一轮复习知识梳理+真题呈现+专项训练

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第3节 等式性质与不等式性质 【知识梳理】 1．两个实数比较大小的方法 作差法 (a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么________； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么__________________________； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么____________________________． 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔____________； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒____________； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒______________________________； a>b，c<0⇒____________； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒__________________； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒____________； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 【真题呈现】 一、多选题 1．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【专项训练】 一、单选题 1．已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 2．若则（    ） A． B． C． D． 3．已知，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．，，，则实数、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，则（    ） A． B． C． D． 10．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C．> D． 11．，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知，，则的取值范围是 13．若，则的取值范围是 ． 14．已知为实数，则 (填 “”、“”、“”或“”). 四、解答题 15．（1）已知，求与的取值范围； （2）已知，试求的取值范围 16．（1）设，比较与的大小； （2）已知，，，求证：． 17．（1）已知，且，证明：． （2）证明：． 18．（1）已知实数，满足，，求和的取值范围 （2）已知正实数，满足：，求的最小值 19．若，，，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第3节 等式性质与不等式性质 【知识梳理】 1．两个实数比较大小的方法：作差法 (a，b∈R)． 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 【常用结论】 不等式的两类常用性质 (1)倒数性质： ①a>b，ab>0⇒<；②a<b<0⇒>；③a>b>0,0<c<d⇒>；④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则①真分数的性质<，>(b－m>0)； ②假分数的性质>，<(b－m>0)． 【真题呈现】 一、多选题 1．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 【专项训练】 一、单选题 1．已知且，，则、