上海市桃浦中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试卷

上海市2023-2024高三第二学期桃浦中学5月月考数学 一、填空题（共54分） 1．（本题4分）设复数满足，则 . 2．（本题4分）已知为等比数列，公比，，且成等差数列，则通项公式 ． 3．（本题4分）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 4．（本题4分）已知实数x、y满足，则的最小值为 ． 5．（本题4分）已知为抛物线上一点，点到的焦点的距离为16，到轴的距离为10，则 . 6．（本题4分）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将其图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象关于y轴对称，则的值可以为 ．（写出一个符合要求的答案即可） 7．（本题5分）若，则 ． 8．（本题5分）已知三棱锥的所有棱长都相等，点是的中心，点在棱上，且平面把三棱锥分成体积相等的两部分，平面与直线交于点．若点都在球的表面上，点都在球的表面上，记球与球的表面积分别为，则 ． 9．（本题5分）如图所示，平面直角坐标系中，四边形满足，，，若点，分别为椭圆：（）的上､下顶点，点在椭圆上，点不在椭圆上，则椭圆的焦距为 . 10．（本题5分）某学校有、两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择了某个餐厅，他第二天会有的可能性换另一个餐厅就餐，假如第天甲选择了餐厅，则第天选择餐厅的概率为 . 11．（本题5分）正四面体的棱长为12，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点到的距离为 ． 12．（本题5分）如图所示，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，设第个内切圆面积为，则 ． 二、单选题（共18分） 13．（本题4分）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 14．（本题4分）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（    ） A．   B．   C．   D．  15．（本题5分）已知贵州某果园中刺梨单果的质量（单位：）服从正态分布，且，若从该果园的刺梨中随机选取100个单果，则质量在的单果的个数的期望为（    ） A．20 B．60 C．40 D．80 16．（本题5分）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题（共78分） 17．（本题14分）在中，角，，的对边分别为，，，． (1)求； (2)若点是上的点，平分，且，求面积的最小值． 18．（本题14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，D，E分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)求平面与平面的夹角的余弦值. 19．（本题14分）身高体重指数（）这个概念，是由19世纪中期的比利时通才凯特勒最先提出，它的计算公式如下：身高体重指数（）=体重（）÷身高（m）的平方.成人的数值低于18.5，则体重过轻，在则正常；在为过重，在为肥胖，不低于32为非常肥胖，且专家指出最理想的体重指数是22.某科研小组设计了一套方案；并在两类人群中进行对比实验，其中科学饮食组采用科学饮食方案，对照组采用随意饮食方案.半年后，分别在两组中各随机选取100人，都分布在内，按分成5组进行统计：，，，，.统计后分别制成如下的频率分布直方图.      (1)求a，b，并估计科学饮食组的80%分位数（结果精确到小数点后两位）； (2)现采用分层抽样的方法从对照组选取的100人中抽取25人，再从这25人中随机抽取2人，记其中“肥胖”（不含非常肥胖）的人数为X，求X的分布列与数学期望. 20．（本题18分）给定椭圆，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”.若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为. (1)求椭圆的方程及其“伴随圆”方程； (2)若倾斜角为的直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆的“伴随圆”相交于两点，求弦的长； (3)在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作两条直线，使得与椭圆都只有一个公共点，且分别与椭圆的“伴随圆”交于两点.证明：直线过原点. 21．（本题18分）设函数，. (1)当时，证明：； (2)当时，求的值域； (3)若数列满足，，，证明：（）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市2023-2024学年桃浦中学5月月考 评分细则 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.5 2. 3. 4. 5.12 6. 7. 8. 9.4 10. 11. 12. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分） 每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分． 题号 13 14 15 16 答案 D C B C 17.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） （1）由题意知中，， 故，即, 即,--------------------2分 所以，而， 故，即，-----------------------------------4分 又，故；-----------------------------------------------6分 （2）由于点是上的点，平分，且， 则，----------------------------------------8分 由，得， 即，-------------------------------------------------------10分 则，当且仅当时取等号， 故，当且仅当时取等号， 所以，-----------------------------------------14分 即面积的最小值为. （用角做也可给分，基本不等式不写取等条件扣2分） 18.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） （1）证明：因为，，，所以， 所以.----------------------------------------------------------2分 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面.-----------------------------------------------------4分 又平面，所以平面平面.-------------------------------6分 （2）取的中点，连接. 由于，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 故平面，------------------------------------------------------8分 以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，其中轴与平行，-------------------------------------------------------------9分 则，，，，，. 设平面的法向量为，，， 则令，得.---------------------------10分 设平面的法向量为，， 则令，得.--------------------------------11分 因为，----------------------------------12分 所以平面与平面的夹角的余弦值为或.------------------14分 19.（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分） （1）由频率分布直方图可知 ，------------------------------2分 由图象计算可得科学饮食组前三个区间所占频率为， 前四个区间所占频率为， 所以80%分位数在区间内，---------------------------------------4分 不妨设为， 所以；---------------------------------6分 （2）根据对照组的频率分布直方图可知在区间内的人数有人， 非肥胖的人数为人，-------------------------------------------8分 可取， 所以， 分布列如下：---------------------------------------------------------12分 0 1 2 P 所以.-----------------------------------14分 20.（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分） （1）依题意，，所以，，--------------2分 所以椭圆的方程为，“伴随圆”方程为.-------------------4分 （2）设直线的方程为， 由消去并化简得， 由得，------------------------------------6分 圆心到直线的距离为，------------------------------8分 所以.-------------------------------------------10分 （3）①当、都有斜率时，设点，其中， 设经过点与椭圆相切，且斜率存在的直线的方程为， 联立，消去得到， 即，， 整理可得，--------------------------------------12分 设、的斜率分别为、，因为、与椭圆都只有一个公共点， 所以、是关于的方程的两个实数根，-----------14分 因而，即⊥；-------------------------------16分 ②当点，点的坐标满足，此时、分别与两坐标轴垂直， 则.----------------------------------------------------------------18分 综上所述，. 所以，所以是“伴随圆”的直径，过原点. 21. （本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分） （1）①在恒成立， 故在上单调递增，-------------------------------2分 故，证毕；------------------------------------------------4分 ②，恒有， 故为偶函数，------------------------------------------6分 当时，， 由①可知，在上恒成立， 又，故在上恒成立， 故在上单调递减， 故，，-------------------9分 结合函数在上为偶函数可得，函数值域为；---------------10分 （2）因为，， 所以， 其中，故只需证明，---------------------12分 因为，， 所以， 由（1）可知， 上式两边取倒数得，故，--------------------15分 于是 ，，-------------------------------------------17分 所以（）.----------------18分 学科网（北京）股份有限公司 $$