专题02 三角恒等变换（考点清单，21题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题02 三角恒等变换 【考点题型一】两角和与差的余弦 C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ； 简记为：“同名相乘，符号反”． 【规律方法】 正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值” 问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值． 【例1】（23-24高一下·江苏泰州·期中）已知，则 ． 【变式1-1】（2024·江苏扬州·模拟预测）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·广东深圳·期末）已知函数，若存在，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，角、的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，若点、的坐标分别为和，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】两角和与差的余弦公式的变用 1.cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ． 2.公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]． 【例2】（2024高一下·江苏·专题练习）（1）已知，求和的值． （2）已知，且，，求的值． 【变式2-1】（22-23高一下·江苏苏州·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·广东广州·模拟预测）已知，且为钝角，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）“弦图”是我国古代三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时为证明勾股定理所绘制，此图曾作为2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图，在正方形中，有4个全等的直角三角形，若图中的两锐角分别为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为 ．    【考点题型三】两角和与差的正弦 S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ； S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ； 【点拨】 ①简记为：“异名相乘，符号同”． ②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”. 【例3】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）已知. (1)求； (2)求. 【变式3-1】（2024·四川遂宁·模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江西南昌·阶段练习） . 【变式3-3】（23-24高一下·江苏常州·期中）已知角的终边经过点，则 ． 【考点题型四】两角和与差的正弦公式的变用 给值求值问题的解题策略． (1)从角的关系中找解题思路： 已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换． (2)常见角的变换． ①α＝(α－β)＋β；②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． 【例4】（2020·全国·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】【多选题】（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知，满足，，，，则______． 【考点题型五】两角和与差的正切 T(α＋β)：tan(α＋β)＝； T(α－β)：tan(α－β)＝. 【点拨】 1 公式Tα±β只有在α≠＋kπ，β≠＋kπ，α±β≠＋kπ(k∈Z)时才成立，否则就不成立. ②当tanα或tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用Tα±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法． 【例5】（2018·全国·高考真题）已知，则 ． 【变式5-1】（2024·江苏·模拟预测）若，则（    ） A． B．7 C． D． 【变式5-2】（2015·江苏·高考真题）已知，，则的值为 ． 【变式5-3】（2020·浙江·高考真题）已知，则 ； ． 【考点题型六】两角和与差的正切的变用 变形公式： tan