精品解析：天津市汇文中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023-2024（2）高一年级数学试卷（100分钟） 一､单选题（共36分） 1. 若实数（为虚数单位），则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 2. 下列说法错误的是（  ） A. B. ，是单位向量，则 C. 若，则 D. 两个相同的向量的模相等 3. 已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行四边形，满足，则四边形一定为（ ）． A 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 6. 各棱长都相等的四面体的内切球和外接球的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 在正方体中，棱的中点分别为，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（ ） A. 钝角三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 9. 如图，底面是边长为2正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（ ） A B. C. D. 二､填空题（共24分） 10. 设虚数单位，复数，则______. 11. 如图，空间四边形的所有棱长为1，D、E分别是棱的中点，则与所成角为__________ 12. 在中，，则______________. 13. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品由两个相同的正四棱柱制作而成，已知正四棱柱的底面边长为，这两个正四棱柱的公共部分构成的八面体体积为______． 14. 抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，简称“解放碑”，位于重庆市渝中区解放碑商业步行街中心地带，是抗战胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．如图：在解放碑的水平地面上的点处测得其顶点的仰角为､点处测得其顶点的仰角为，若米，且，则解放碑的高度__________米． 15. 如图，已知正方形的边长为，且，连接交于，则________________ 三､解答题（共40分） 16. 已知向量，若， （1）求与的夹角θ； （2）求； （3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？ 17. 如图，在三棱锥中，底面，，，，分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求四面体的体积． 18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求的值； （2）若， （i）求a的值； （ii）求的值． 19. 如图，在四棱锥中，，为棱的中点，平面. （1）证明：平面 （2）求证：平面平面 （3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正切值. 20. 在中，满足． （1）求； （2）若，边BC上的中线，设点为的外接圆圆心． ①求的周长和面积： ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024（2）高一年级数学试卷（100分钟） 一､单选题（共36分） 1. 若为实数（为虚数单位），则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的运算结合虚部为零可得. 【详解】， 因为为实数，故，得． 故选：D． 2. 下列说法错误的是（  ） A B. ，是单位向量，则 C. 若，则 D. 两个相同的向量的模相等 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 3. 已知是直线，，是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与平面的位置关系的判定和性质即可选出正确答案. 【详解】选项A：根据给定条件有 或； 选项B：根据给定条件有 或； 选项C：根据给定条件有与的位置可能平行、相交或m在α内； 选项D：因为，所以存在直线使得， 又因为，所以，因为，所以. 故选：D. 4. 在中，若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由正弦定理可得,则可设,,,再利用余弦定理求解即可 【详解】由正弦定理可知, 不妨设,,, 则由余弦定理可得, 故选:D 【点睛】本题考查由正弦定理处理边角关系,考查利用余弦定理解三角形 5. 已知平行四边形，满足，则四边形一定为（ ）． A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形 【答案】B 【解析】 【分析】根