专题03一元二次方程（七大常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

专题03一元二次方程 考点一、一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 注意：一元二次方程成立必须同时满足三个条件： （1）是整式方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）；（2）只含有一个未知数；（3）未知数项的最高次数是2。 考点二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式，其中叫作二次项，是二次项系数；叫作一次项，是一次项系数；叫作常数项。 注意：（1）中的．因当时，不含有二次项，即不是一元二次方程 （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号。 考点三、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 考点四、解一元二次方程的方法 （1）直接开方法：方程能化成的形式,那么,进而得出方程的根； （2）配方法：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为的形式； ⑤如果就可以用两边开平方来求出方程的解；如果，则原方程无解． （3）公式法：①化为一般形式；②求出判别式的值，判断根的情况；③在的前提下,把的值代入公式进行计算,求出方程的根。 （4）因式分解法：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； ③令每个因式分别为零；④两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 （5）换元法：是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现，把一些形式复杂的方程通过换元方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的。 考点五、一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 题型一 一元二次方程的一般形式 1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，4，1 C．3，4， D．3，， 2．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ） A．5 B．3 C． D． 3．若将一元二次方程化成一般式为，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 4．把方程化为一元二次方程的一般形式是 ． 5．一元二次方程的常数项是 ． 6．已知关于x的一元二次方程，若一次项系数与常数项相等，则a的值为 ． 题型二 一元二次方程的解 7．若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 8．若关于的一元二次方程有一个根为，则 ． 9．若a为一元二次方程的一个实数根，则 . 10．已知关于的一元二次方程的一个根是，则 ． 11．若是方程的解，则的值为 ． 12．若关于的一元二次方程的一个根为，则另一个根为 ． 题型三 解一元二次方程 13．下列一元二次方程中，没有实数解的是（   ） A． B． C． D． 14．若分式的值为零，则的值为 ． 15．用适当的方法解方程 (1) (2) 16．解方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） 17．解方程： (1) (2) 18．用适当的方法解下列方程 (1)； (2)． 19．解方程： (1)； (2)． 题型四 解一元二次方程（换元法） 20．如果，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．1或 21．在分式方程中，设，可得到关于y的整式方程为（    ） A． B． C． D． 22．关于的方程的解是（均为常数，），则方程的解是（     ） A． B． C． D． 23．若，则 ． 24．解方程：，利用整体思想和换元法可设，则原方程可化为： . 25．阅读下列材料： 解方程：． 分析：我们可以用“换元法”解方程． 解：设，则， 原方程可化为：， 请你将剩下的解题过程补充完整，并求出的值．    题型五 根的判别式与解的情况 26．一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 27．关于的方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 28．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．没有实数根 B．