专题02乘法公式和因式分解（八大常考题型）-【初升高衔接】2024年新高一数学暑假衔接知识回顾与新课预习（人教A版2019）

专题02乘法公式和因式分解 考点一、乘法公式 1.平方差公式： 语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ①位置变化：；②符号变化： ③指数变化：；④系数变化： 2.完全平方公式：， 两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： ， 考点二、因式分解 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 注意： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 2.公因式：像多项式，它的各项都有一个公共的因式，我们把这个公共因式，叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数——各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数； 3.提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式． 注意：提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数是正的． 4.公式法：运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：平方差公式:；完全平方公式:， 5.十字相乘法： 在二次三项式中,如果二次项系数可以分解成两个因数之积,即,常数项可以分解成两个因数之积,即,把,.排列如下: 按斜线交叉相乘,再相加,得到,若它正好等于二次三项式的一次项系数,即,那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积,即. 题型一 平方差公式的应用 1．分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 2．算式的个位数字为 ． 3．计算： ． 4．计算： ． 5．计算： ． 6．计算 (1)用简便方法计算：； (2) 题型二 完全平方公式的应用 7．已知，则的值为（　　） A．n B． C．0 D． 8．若，则的值为 ． 9．计算的结果为 ． 10．已知，，求的值． 11．已知，，则 ． 12．若，则的值为 ． 13．小明在计算时，解答过程如下： …第一步 …第二步 …第三步 小明的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程． 题型三 因式分解——提取公因式 14．把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（    ） A． B． C． D． 15．已知， （1）把M分解因式，结果是 ． （2）若，则M的值为 ． 16．给出下面四个多项式：①；②；③；④，其中含因式的多项式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．分解因式： ． 18．若，则 ． 19．把多项式分解因式的结果是 ． 20．因式分解下列各式： (1)； (2)． 题型四 因式分解——十字相乘法 21．已知是因式分解的结果，则的值为（    ） A． B． C． D． 22．分解因式： ． 23．两位同学将一个二次三项式分解因式时，其中一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成,则原来的多项式为 24．因式分解：． 25．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 26．分解因式 27．把多项式分解因式得，则 ． 28．由多项式乘法：，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：． 示例：分解因式： (1)尝试：分解因式： ； (2)应用：请运用“十字相乘法”解方程： 题型五 含参数的十字相乘法 29．可因式分解为_______ 30．可因式分解为 ． 31． 32．． 33．对以下式子进行因式分解 （1）（其中） （2） （3）（其中） （4） 题型六 分组分解法 34．因式分解：． 35．因式分解：． 36．因式分解： ． 37．因式分解：