上海市朱家角中学2023-2024学年高一下学期第二阶段质量检测数学试题

上海市朱家角中学2023学年度第二学期第二阶段质量监测 高一数学 命题人：沈丽芳 （满分120分 时间90分钟） 2024.5 一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 已知，则______. 2. 复数的虚部是______. 3. 复数在复平面内对应的点位于第______象限. 4. 已知，，则满足条件的______（结果用反三角记号表示）. 5. 在正方形ABCD中，向量与向量的夹角是______.（用弧度制表示） 6. 若为第三象限的角，则______. 7. 已知点，，若点P满足，则点P的坐标为______. 8. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______. 9. 设复数，满足，且，其中为虚数单位，则______. 10. 平面A，B，C上三点的坐标分别是，，.小林同学在点B处休息，朱中小猫沿着AC所在直线来回跑动，则朱中小猫离小林同学最近时的坐标为______. 11. 在三角形ABC中，D是BC上靠近点C的三等分点，E为AD中点，若，则______. 第11题 12. 已知复数z满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是______. 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分. 13. 若，，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分又不必要条件 14. 函数（其中，，）的部分图像如图所示，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 15. 若，是平面内向量的一组基，则下面的向量中不能作为一组基的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 16. 已知正三角形ABC的边长为4，D是BC边上的动点（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本题满分56分）本答题共有5题，解答下列各题必须写出必要步骤. 17.（本题8分）设z是实系数一元二次方程的根. （1）求出所有z； （2）选取（1）中求出的一个z值，计算的值. 18.（本题10分）已知平面向量，满足，，且. （1）求向量，的夹角； （2）若，求实数的值. 19.（本题12分）如图，在中，，点E为AC中点，点F为BC上的三等分点，且靠近点C，设，. 第19题 （1）用，表示，； （2）如果，，且，求. 20.（本题12分）已知a，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别A、B. （1）若是实数，求的最小值； （2）设O为坐标原点，记，若，且点C在y轴上，求与的夹角. 21.（本题14分） 已知是虚数单位，a，，设复数，，，且. （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面的坐标原点. ①是否存在实数a，b，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数a，b的值；如果不存在，请说明理由； ②若O，A，B三点不共线，记的面积为，求及其最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$