第07讲 基本不等式-【暑假预科讲义】2024年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第07讲 基本不等式 【人教A版2019】 ·模块一 两个不等式 ·模块二 基本不等式与最值 ·模块三 课后作业 模块一 两个不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 【考点1 对基本不等式的理解】 【例1.1】（23-24高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高一上·浙江台州·阶段练习）若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高三上·安徽合肥·期中）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【考点2 利用基本不等式比较大小】 【例2.1】（23-24高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高一上·上海普陀·期中）已知a，，且，则下列不等关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）某城市为控制用水，计划提高水价，现有以下四种方案，其中提价最多的方案是（其中）（    ） A．先提价，再提价 B．先提价，再提价 C．分两次，都提价 D．分两次，都提价 【变式2.2】（2023高一·全国·课后作业）已知a、b为正实数，，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 利用基本不等式证明不等式】 【例3.1】（23-24高一上·四川雅安·期中）已知，，且，证明： (1)； (2)． 【例3.2】（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）已知正数a，b满足，证明：. 【变式3.1】（23-24高一上·陕西西安·期中）设，均为正实数． (1)求证： (2)若，证明：． 【变式3.2】（2023·全国·模拟预测）已知正数，，满足，证明： (1)． (2)． 模块二 基本不等式与最值 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件． 2．利用基本不等式求最值的几种方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 【考点1 利用基本不等式求最值（无条件）】 【例1.1】（23-24高三上·西藏林芝·期末）已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【例1.2】（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【变式1.1】（23-24高一上·湖北咸宁·阶段练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高一上·广东·期中）已知，则的最小值为（    ） A．50 B．40 C．20 D．10 【考点2 利用基本不等式求最值（有条件）】 【例2.1】（23-24高一上·江西新余·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例2.2】（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2.1】（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）已知两个正实数x，y满足