第11讲 函数的奇偶性-2024-2025学年高一年级数学暑假讲义（江苏专用）

第11讲 函数的奇偶性 适用学科 数学 适用年级 高一 适用区域 江苏 本讲时长 120分钟 知识点 及学习目标 1．结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义． 2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法． 3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题． 一、奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且        ,那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且        ,那么函数f(x)就叫做奇函数 定义域特征 关于原点对称 二、奇函数、偶函数的图象特征 1．如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象是以        为对称中心的中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以        为对称中心的中心对称图形,那么这个函数是奇函数． 2．如果一个函数是偶函数,那么它的图象是以        为对称轴的轴对称图形;反之,如果一个函数的图象关于        对称,那么这个函数是偶函数． 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1．已知f(x)是定义在R上的函数．若f(-1)=f(1),则f(x)一定是偶函数．  (     　) 2．奇函数的图象一定过原点． (     　) 3．偶函数的图象与x轴交点的个数一定是偶数． (     　) 4．f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0． (　 　) 5．存在既是奇函数又是偶函数的函数,且不止一个． (　 　) 6．奇函数在关于原点对称的区间上的单调性一致,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (　 　) 类型一　函数奇偶性的概念及其图象特征 例1．已知一个奇函数的定义域为{-1,2,a,b},则a+b等于(　　)　　　　　　　　　　　　　　　 A．-1 B．1 C．0 D．2 例2．若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(　　) A．(a,-f(a)) B．(-a,-f(a)) C．(-a,-f(-a)) D．(a, f(-a)) 例3．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) 例4．能说明“若f(x)是奇函数,则f(x)的图象一定过原点”是假命题的一个函数是f(x)=　　　．  例5．(1)如图①,给出奇函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值; (2)如图②,给出偶函数y=f(x)的部分图象,试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小． 1．已知y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实数根之和是(　　) A．4 B．2 C．1 D．0 2．(多选)若f(x)为R上的奇函数,则下列四个说法正确的是(　　) A．f(x)+f(-x)=0 B．f(x)-f(-x)=2f(x) C．f(x)·f(-x)<0 D．=-1 3． f(x)是定义在R上的奇函数,其在[0,+∞)上的图象如图所示． (1)画出f(x)的图象; (2)解不等式xf(x)>0． 类型二 函数奇偶性的判定 例6．已知y=f(x),x∈(-a,a),F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．是非奇非偶函数 例7．下列函数中是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是(　　) A．y=|x| B．y=3-x C．y= D．y=-x2+4 例8．若函数f(x)=则f(x)(　　) A．是偶函数 B．是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 例9．判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=+; (2)f(x)=; (3)f(x)= 1．下列函数是偶函数的是(　　) A．f(x)=x3- B．f(x)= C．f(x)=(x-1) D．f(x)=|2x+5|+|2x-5| 2．已知F(x)=(x3-2x)f(x),且f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)不恒等于零,则F(x)为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数或偶函数 D．非奇非偶函数 3．已知f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数x,y都成立,则函数f(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数,也是偶函数 D．既不是奇函数,也不是偶函数 类型三　函数奇偶性的综合运用 例10．已知函数f(x)=mx2+nx+2m+n是偶函数,其定义域为[m+1,-2n+2],则(　　) A．m=0,n=0 B．m=-3,n=0 C．m=1,n=0 D．m=3,n=0 例11．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=(　　) A．20 B．12 C．-20 D．-12 例12．已知函数f(x)为R上的奇函数,且在(-∞,0)上是增函数, f(5)=0,则xf(x)>0的解集是 ．  例13．已知y=f(x)是奇函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=6,则a的值为 ． 例14．已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= ． 例15．已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时, f(x)=x2-2x． (1)求函数f(x)的解析式,并画出函数f(x)的图象; (2)根据图象写出f(x)的单调区间和值域． 1．若偶函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则(　　) A．f<f(-1)<f(2) B．f(-1)<f<f(2) C．f(2)<f(-1)<f D．f(2)<f<f(-1) 2．函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数．若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-1)≤1的x的取值范围是(　　) A．[-2,2] B．[-1,1] C．[0,2] D．[1,3] 3．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)恒成立,且f(1)=1,则f(3)+f(4)+f(5)的值为( ) A．-1 B．1 C．2 D．0 4．已知函数f(x)与g(x)分别是定义域上的奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=x2--2,则f(2)=(　　) A．- B． C．-3 D． 5．已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时, f(x)=若对任意的x∈R,不等式f(x)>f(x-a)恒成立,则实数a的取值范围是 ． 6．(1)若奇函数f(x)是定义在R上的增函数,求不等式f(2x-1)+f(3)<0的解集; (2)若f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,求不等式f(2x-1)-f(-3)<0的解集． 7．已知函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,且f=． (1)求函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解关于实数t的不等式f(t-1)+f(t)<0． 8．已知函数f(x)=是奇函数． (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数f(x)在(0,)上单调递增,试求p的最大值． 1．(多选)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是(　　) A．|f(x)|g(x)是奇函数 B． f(x)|g(x)|是奇函数 C． f(x)+|g(x)|是偶函数 D．|f(x)|+g(x)是偶函数 2．设函数f(x)=x2-2|x-a|+3,x∈R． (1)王鹏同学认为,无论a取何值, f(x)都不可能是奇函数．你同意他的观点吗?请说明你的理由; (2)若f(x)是偶函数,求a的值; (3)在(2)的情况下,画出y=f(x)的图象并指出其单调递增区间． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 第11讲 适用学科 适用年级 新高一 一．奇函数、偶函数的定义 偶函数 奇函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且①    f(-x)=f(x)    ,那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果∀x∈I,都有-x∈I,且②    f(-x)=-f(x)    ,那么函数f(x)就叫做奇函数 定义域 特征 关于原点对称 二．奇函数、偶函数的图象特征 1.如果一个函数是奇函数,那么这个函数的图象是以③　原点    为对称中心的中心 对称图形;反之,如果一个函数的图象是以④　原点    为对称中心的中心对称图形, 那么这个函数是奇函数. 2.如果一个函数是偶函数,那么它的图象是以⑤    y轴    为对称轴的轴对称图形;反 之,如果一个函数的图象关于⑥    y轴    对称,那么这个函数是偶函数. 概念巩固：判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”． 1.  (    ✕　) 2. (    ✕　) 3. (    ✕　) 4..(　√　) 5. (　√　) 6.  (　√　) 例1 A 例2 B 例3 B 例4 例5(1)由奇函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图①所示,易知f(3)=-2. (2)由偶函数的性质可作出它在y轴右侧的图象,如图②所示,易知f(1)>f(3). 变式 1 D 2 AB 3(1)根据奇函数的图象关于原点对称,可得f(x)的图象如图所示. (2)xf(x)>0即图象上点的横坐标与纵坐标同号,且均不为0.结合图象可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2). 例6 B 例7 A 例8 B 例9(1)依题意得x2-1≥0,且1-x2≥0,即x=±1, 因此函数f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,且f(x)=0. ∵f(-x)=-f(x), f(-x)=f(x), ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)函数f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数. (3)易得函数f(x)的定义域是D=(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.任取x∈D, 当x>0时,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x); 当x<0时,-x>0,∴f(-x)=-x(1-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数. 变式 1D 2 B 3 A 例10 B 例11 B 例12 (-∞,-5)∪(5,+∞) 例13 5 例14 1 例15 (1)∵x≥0时, f(x)=x2-2x, ∴当x<0时,-x>0,∴f(-x)=x2+2x, ∴f(-x)=f(x)=x2+2x. 故函数f(x)的解析式为 f(x)= 函数f(x)的图象如图所示. (2)由(1)中函数的图象可知,函数f(x)的单调递增区间为[-1,0],[1,+∞);单调递减区间为(-∞,-1],[0,1].函数f(x)的值域为[-1,+∞). 变式 1 D 2 C 3 D 4 A 5 (3,+∞) 6(1)由题知f(x)为奇函数,且在R上是增函数, 则f(2x-1)+f(3)<0⇒f(2x-1)<-f(3)⇒f(2x-1)<f(-3)⇒2x-1<-3,解得x<-1,即不等式的解集为(-∞,-1). (2)由题知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数, 则f(2x-1)-f(-3)<0⇒f(2x-1)<f(3)⇒f(|2x-1|)<f(3)⇒|2x-1|<3,解得-1<x<2, 即不等式的解集为(-1,2). 7 (1)因为函数f(x)=是定义在(-1,1)上的奇函数,所以f(0)=0,得b=0. 又知f=,所以=,解得a=1,所以f(x)=. (2)证明:∀x1,x2∈(-1,1),且x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-=, 由于-1<x1<x2<1,所以-1<x1x2<1,即1-x1x2>0, 所以>0,即f(x2)-f(x1)>0,所以f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)因为f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以f(t-1)+f(t)<0等价于f(t-1)<-f(t)=f(-t),即f(t-1)<f(-t), 又由(2)知f(x)在(-1,1)上是增函数, 所以解得0<t<, 即原不等式的解集为. 8 (1)因为函数f(x)=是奇函数,所以f(x)=-f(-x), 即=-,化简得a=0, 所以f(x)=. (2)f(x)==-=-·,任取x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2, 则= = = =-· =-·. 因为x1,x2∈(0,+∞),所以x1x2>0. 当x1,x2∈(0,]时,x1x2-2<0,从而>0;当x1,x2∈[,+∞)时,x1x2-2>0,从而<0. 因此f(x)在(0,]上是增函数, f(x)在[,+∞)上是减函数. 由题知f(x)在(0,]上单调递增,所以的最大值为,即p的最大值为2. 作业 1 BD 2(1)我同意王鹏同学的观点. 理由如下: 假设f(x)是奇函数, 则由f(a)=a2+3, f(-a)=a2-4|a|+3, 可得f(a)+f(-a)=0, 即a2-2|a|+3=0, 显然a2-2|a|+3=0无解, ∴f(x)不可能是奇函数. (2)若f(x)为偶函数,则有f(a)=f(-a), 即a2+3=a2-4|a|+3,解得a=0. 经验证,此时f(x)=x2-2|x|+3是偶函数. (3)由(2)知f(x)=x2-2|x|+3,其图象如图所示, 由图可得,其单调递增区间是(-1,0)和(1,+∞). 解题模板　利用奇偶性确定函数解析式中参数的值时,选择题、填空题中可用特殊值法简化运算;解答题中要结合定义写出完整的解题过程,若用特殊值法得到参数的值仍需要进一步证明. $$