专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】-2025年高考数学一轮复习【举一反三】专练（新高考专用）

专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性【十二大题型】 【新高考专用】 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 3 【题型2 根据函数的单调性求参数】 4 【题型3 利用函数的单调性求最值】 4 【题型4 函数的奇偶性的判断与证明】 5 【题型5 根据函数的奇偶性求参数】 5 【题型6 已知函数的奇偶性求解析式、求值】 6 【题型7 函数的对称性与周期性】 6 【题型8 类周期函数】 7 【题型9 利用函数的性质比较大小】 7 【题型10 利用函数的性质解不等式】 8 【题型11 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性】 9 【题型12 函数性质的综合应用】 10 1、函数的性质 考点要求 真题统计 考情分析 (1)借助函数图象，会用符 号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义 (2)结合具体函数，了解奇 偶性和对称性的概念和几何意义 (3)了解周期性的概念和几何意义 2021年I卷：第8题，5分 2021年甲卷：第12题，5分 2022年I卷：第12题，5分 2022年Ⅱ卷：第8题，5分 2023年I卷：第4题，5分、第11题，5分 2023年Ⅱ卷：第4题，5分 从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性、周期性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想 【知识点1 函数的单调性与最值的求法】 1．求函数的单调区间 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间. 2．函数单调性的判断 (1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法. (2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则. 3．求函数最值的三种基本方法： (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值. (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值. (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. 4．复杂函数求最值： 对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【知识点2 函数的奇偶性及其应用】 1．函数奇偶性的判断 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件： (1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 2．函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值. (2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题. 3．常见奇偶性函数模型 (1)奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． (2)偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数. 【知识点3 函数的周期性与对称性的常用结论】 1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数) (1)若f(x+a)=f(x)，则T=a； (2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a； (3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a； (4)若f(x+a)=，则T=2a； (5)若f(x+a)=，则T=2a； (6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b); 2．对称性的三个常用结论 (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称. (2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称. (3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称. 3．函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； (2)若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； (3)若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 【题型1 函数单调性的判断及单调区间的求解】 【例1】（2023·海南海口·模拟预测）函数的单调递减区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【变式1-1】（2024·广东·一模）设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是　　 A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【变式1-2】（20