北京市第二中学2023-2024学年高三下学期校模数学试卷

北京二中2023—2024学年度高三年级校模测试试卷 数学 命题人：赵中华 审核人：傅靖 得分：____________ 一、单选题（本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．已知集合，集合，若，则（ ） A．4 B．2 C．0 D．1 2．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2的25%分位数为（ ） A．24 B．6 C．10 D．8 3．已知，其中i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 4．记等差数列的公差为d，前n项和为，若，且，则该数列的公差d为（ ） A．3 B．4 C.5 D．6 5．已知点在圆上，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 6．已知是偶函数，当时，若，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的两个焦点分别为，过的直线与双曲线C的同一支交于A，B两点，且，则线段AB的长度为（ ） A． B．9 C． D．6 8．设O为所在平面上一点．若实数x，y，z满足，则“”是“点O在的边所在直线上”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 9．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度小于等于为安全范围．已知某新建文化娱乐场所施工过程中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为，3周后室内甲醛浓度为，且室内甲醛浓度（单位：）与竣工后保持良好通风的时间（单位：周）近似满足函数关系式，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（ ） A．5周 B．6周 C．7周 D．8周 10．如图，正四面体ABCD的顶点C在平面α内，且直线BC与平面α所成的角为30°，顶点B在平面α内的射影为O，当顶点A与点O的距离最大时，直线CD与平面α所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，共25分） 11．的展开式的常数项是____________． 12．已知向量，在上的投影向量为，，则___________． 13．抛物线的焦点F的坐标是____________；经过点的直线与抛物线C相交于A，B两点，且点P恰为线段AB的中点，则__________． 14．已知函数，且．若两个不等的实数满足且，则_____________． 15．数学上的符号函数可以返回一个整型变量，用来指出参数的正负号，一般用来表示，其解析式为．已知函数，给出下列结论： ①函数的最小正周期为π； ②函数的单调递增区间为； ③函数的对称中心为； ④在上函数的零点个数为4． 其中正确结论的序号是____________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本小题13分） 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若同时满足下列四个条件中的三个： ①；②；③；④． （Ⅰ）若满足条件②，③，④，求边c； （Ⅱ）在除了第（1）问中的所有组合中任选一组，求对应的面积． 17．（本小题13分） 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入：“败区”；接下来，“胜区的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （Ⅰ）若经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； （Ⅱ）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 18．（本小题14分） 如图，在四棱锥中，，． （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）若线段PC上存在点F，满足，且平面BDF与平面ADP的夹角的余弦值为，求实数λ的值． 19．（本小题15分） 已知O为坐标原点，椭圆上一点D的横坐标为1，斜率存在的直线l交椭圆C于A，B两点，且直线DA，DB的斜率之和等于1． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若点D在第一象限，探究的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 20．（本小题15分） 已知函数． （Ⅰ）当时 （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求零点的个数； （Ⅱ）当时，直接写出a的一个值，使得不是的极值点，并证明． 21．（本小题15