精品解析：湖南省长沙市长郡中学2024届高考适应考试（三）数学试题

湖南省长沙市长郡中学2024届高考适应考试（三）数学试题 命题人: 审题人: 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ）． A. B. C. D. 1 2. 在展开式中，的系数为（ ） A. 30 B. 60 C. 40 D. -60 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数，，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，且与的夹角为，，向量与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点为抛物线上一点，为上不同于点的一个动点，过作的垂线与交于另一点，则点的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 中国传世数学著作《九章算术》卷五“商功”主要讲述了以立体问题为主的各种形体体积的计算公式.例如在推导正四棱台(古人称方台)体积公式时，将正四棱台切割成九部分进行求解.下图1为俯视图，图2为立体切面图.对应的是正四棱台中间位置的长方体，对应四个三棱柱，对应四个四棱锥.若这四个三棱柱的体积之和为12，四个四棱锥的体积之和为4，则该正四棱台的体积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 8. 从集合的非空子集中随机取出两个不同的集合A，，则在的条件下，恰有个元素的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子组成，并带有放射性，会发生衰变，其半衰期是12.43年.样本中氚的质量随时间(单位:年)的衰变规律满足，其中表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:) A. B. 经过年后，样本中的氚元素会全部消失 C. 经过年后，样本中的氚元素变为原来的 D. 若年后，样本中氚元素的含量为，则 10. 在前n项和为的正项等比数列中，，，，则（ ） A. B. C. D. 数列中的最大项为 11. 一般地，如果一个四面体存在由同一点出发的三条棱两两垂直，我们把这种四面体叫做直角四面体，记该点为直角四面体的直角顶点，两两垂直的三条棱叫直角四面体的直角棱，任意两条直角棱确定的面叫直角四面体的直角面，除三个直角面外的一个面叫斜面．若一个直角四面体的三条直角棱长分别为，，，直角顶点到斜面的距离为，其内切球的半径为，三个直角面的面积分别为，，，三个直角面与斜面所成的角分别为，，，斜面的面积为，则（ ） A. 直角顶点在斜面上的射影是斜面的内心 B. C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32中位数为a，平均数为b，则=______． 13. 已知，函数,当时，函数的最大值是_____；若函数的图象上有且只有两对点关于轴对称，则的取值范围是______． 14. 设为实数中最大的数．若，，则的最小值为______． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 已知函数，其中. （1）若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值; （2）是否存在实数，使得在上的最大值是?若存在，求出的值;若不存在，说明理由. 16. 如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点在底面圆周上，为垂足. （1）求证：. （2）当直线与平面所成角的正切值为2时， ①求平面与平面夹角的余弦值； ②求点到平面的距离. 17. 植物迷宫源自于西方国家，在西方国家十分盛行，发展到现在，已经是西方园林植物文化的代表之一．目前植物迷宫的发展已经遍布世界各地，最大的、最长的、最复杂的等等迷宫形式已经成为各大以乡村或农业等为主打的景区，吸引游客的一项重要手段．某乡镇为发展旅游业，欲打造植物迷宫，现就蔬菜迷宫、粮食迷宫两款征询90名村民代表的意见（每人可选一款支持，也可保持中立），其中男、女村民代表的比例为，得到相关统计数据如下： 支持蔬菜迷宫 支持粮食迷宫 中立（两种均可） 人数