7.4.2超几何分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.4.2 超 几 何 分 布     延时符 授课人： 日期：2024年5月26日 1 学习目标  通过具体实例，了解超几何分布及其均值.  能用超几何分布解决简单的实际问题.  数学抽象、数学运算、数据分析 2 新知导入 3 【问题】已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列. 可能的取值为0，1，2，3，4. 样本空间包含个样本点，等可能发生. 其中4件产品中恰有件次品的结果数为. 得的分布列为 计算的具体结果(精确到0.00001)如表所示. 2 3 4 不放回抽样，不服从二项分布. 采用有放回抽样，各次抽样的结果相互独立，此时服从二项分布. 3 新课知识 4 一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品.从件产品中随机抽取件(不放回)，用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 . 其中，，，，， ， . 如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布. 超几何分布 4 新课知识 5 【例1】从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率. 【解】设表示选出的5名学生中含甲的人数(只能取0或1)，则服从超几何分布， 且，，. 因此甲被选中的概率为 . 5 新课知识 6 【例2】一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率. 【解】设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且，，. 的分布列为 至少有1件不合格的概率为 另解： . 6 新课知识 7 【探究】服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 设随机变量服从超几何分布，则可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品数. 令，则是件产品的次品率，而是抽取的件产品的次品率，则，即. 7 新课知识 8 【探究】服从超几何分布的随机变量的均值是什么？ 令， ，由随机变量均值的定义： 所以 当时， .(1) 因为， 当时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. . 8 Administrator (A) - 对非重点高中生来讲，证明费时间，且讲了也记不住，不需要掌握这个证明方法，只需掌握结果就行。对重点高中则必须掌握。 例题精讲 9 【例3】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本. 用表示样本中黄球的个数. (1)分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列； 【解】(1)：对于有放回摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次试验之间的结果是独立的，因此，的分布列为 对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为 9 张龙吉 (张) - P_1k与P_2k中的1k与2k，其中的1，2不是倍数，只是为区分二项分布列与超几何分布而写的，相当于下角标。 例题精讲 10 【例3】一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数. (2)分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率. 【解】(2)：利用统计软件计算出两个分布列的概率值(精确到0.00001)，如教材中表所示. 样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表，计算得： 有放回摸球： 无放回摸球： 因此，在相同的误差限制下，采用不放回摸球估计的结果更可靠些. 10 新课知识 11 两种摸球方式下，随机变量分别服从二项分布和超几何分布. 虽然这两种分布有相等的均值(都是8)，但从两种分布的概率分布图看，超几何分布更集中在均值附近. 二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同. 对于不放回抽样，当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似. 11 课堂练习 12 1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 【解】因为一箱24罐的饮料中4罐有奖券，所以无奖券的有20罐， 从24