精品解析：辽宁省东北育才学校高中本部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

2023—2024学年度下学期高一年级数学科期中考试试题 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（ ） A. 一个圆台、两个圆锥 B. 一个圆柱、两个圆锥 C. 两个圆台、一个圆柱 D. 两个圆柱、一个圆台 2. 在复平面内表示复数的点位于第二象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. （ ） A. 1 B. C. -1 D. 4. 如图所示，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积是（ ）. A. 12 B. 12 C. 6 D. 5. 在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 6. 已知菱形的边长为，动点在边上（包括端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图（1）所示，已知点在抛物线上，过作轴于点，且．将曲边三角形如图（2）所示放罝，并将曲边三角形沿平面的垂线方向平移一个单位长度（即），得到相应的几何体．取一个底面面积为高为的正四棱锥放在平面上如图（3）所示，这时，平面平面，现用平行于平面的任意一个平面去截这两个几何体，截面分别为矩形，四边形，截面与平面的距离为），试用祖暅原理，求曲边三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项迭择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在锐角中，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为复数，则下列结论中正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则是实数 C. 若，则 D. 若，则是实数 11. 图1中的扫地机器人的外形是按照如下方法设计的：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形．德国工程师勒洛首先发现这个曲边三角形能够像圆一样当作轮子用，故称其为“勒洛三角形”．将其推广到空间，如图2，以正四面体的四个顶点为球心，以正四面休的校长为半径的四个球的相交部分围成的几何体叫做“勒洛四面休”．则下列结论正确的是（ ） A. 若正三角形的边长为，则勒洛三角形面积为 B. 若正三角形的边长为，则勒洛三角形的面积比正三角形的面积大 C. 若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体能容纳的最大球的半径为 D. 若正四面体的棱长为2，则勒洛四面体表面上交线的长度小于 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，且，，则该四棱锥外接球的表面积为_________. 13. 已知，，则________． 14. 已知棱长相等的正三棱锥底面的三个顶点均在以为球心的球面上（其中为的中心），球面与棱分别交于点．若球的表面积为，则多面体的体积为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）若，求； （2）若是纯虚数，求的值． 16. 在中，边上中线． （1）求的长； （2）求的值． 17 已知函数． （1）求函数的最小正周期及其单调递增区间， （2）若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 18. 如图，在正六棱锥中，球是其内切球，，点是底面内一动点（含边界），且. （1）求正六棱锥的体积； （2）当点在底面内运动时，求线段所形成的曲面与底面所围成的几何体的表面积. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为， （1）若， ①求； ②若，设点为费马点，求； （2）若，设点为的费马点，，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下学期高一年级数学科期中考试试题 考试时间：120分钟　　满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等腰梯形ABCD，现绕着它的较长底CD所在的直线旋转一周，所得的几何体包括（