精品解析：辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

东北育才学校科学高中部2023-2024学年下学期期中考试 高一年级数学科试卷 命题人：魏春新 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，则角所在象限第二象限 D. 若，，则 2. 下列三角函数值为正数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，满足，，，则（ ）． A. B. C. D. 4. 已知内角的对边分别是.若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 5 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象可由函数的图象 A. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位 B. 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位 C. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 D. 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 7. 已知向量满足，，则的最大值等于（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量和实数，下列说法正确的是（ ） A 若，则或 B. 若且，则当时，一定有与共线 C. 若 D. 若且，则 10. 已知函数，则下列说法中正确的是（ ） A. 若和为函数图象的两条相邻的对称轴，则 B. 若，则函数在上的值域为 C. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值为 D. 若函数在上恰有一个零点，则 11. 已知函数，则（ ） A. 最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 不等式无解 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 当时，函数取得最大值，则__________. 13. __________． 14. 在中，是的角平分线，且的面积为1，当最短时，_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，. （1）求的值. （2）若，，且，求的值. 16. 如图，在矩形中，点在边上，且，是线段上一动点. （1）若是线段的中点，，求的值； （2）若，求的最小值. 17. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）若，求边上的角平分线长； （2）若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围． 18. 如图，扇形ABC是一块半径（单位：千米），圆心角的风景区，点P在弧BC上（不与B，C重合）．现欲在风景区规划三条商业街道，要求街道PQ与AB垂直于点Q，街道PR与AC垂直于点R，线段RQ表示第三条街道．记． （1）若点P是弧的中点，求三条街道的总长度； （2）通过计算说明街道的长度是否会随的变化而变化； （3）由于环境的原因，三条街道每年能产生的经济效益分别为每千米300，200，400（单位：万元），求这三条街道每年能产生的经济总效益的最大值． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）求的“相伴特征向量”； （2）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由； （3）记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才学校科学高中部2023-2024学年下学期期中考试 高一年级数学科试卷 命题人：魏春新 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列说法中正确的是（ ） A. B. 若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C. 若，则角所在象限是第二象限 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式可得A错误；由象限角的范围可得B错误；C正确；由同角的三角函数关系和三角函数的范围可得D错误. 【详解】A：由诱导公式可得，故A错误； B：因为是第二象限角，所以， 所以，为第一或第三象限角，故B错误； C：因为，所以角所在象限是第二象限，故C正确； D：因为， 平方后可得， 又，所以，， 所以， 所以，故D错误. 故选：C. 2. 下列三角函数值为正数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分