湖南省长沙市明德中学2023-2024学年高二下学期5月阶段性考试数学试题

长沙市明德中学高二年级5月阶段性考试数学试题 时量：120分钟 总分：150分 命题：谭煜琼 审题：姜华 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商品在5家商场的售价x（元）及其一天的销售量y（件）进行调查，得到五对数据，经过分析、计算，得，，y关于x的经验回归方程为，则相应于点的残差为（ ） A． B．1 C． D．3 4．记单调递增的等差数列的前n项和为，若且，则 （ ） A．70 B．65 C．55 D．50 5．函数的部分图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则下列说法一定成立的是（ ） A． B． C． D．若，则点C在线段AB上 7．平面向量，，，且与的夹角等于与的夹角，则m＝（ ） A． B． C．1 D．2 8．已知函数是定义域为R且周期为4的奇函数，当时，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．函数的图象关于对称 C．的最大值为 D．函数有8个零点 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．错选0分，少选则按正确选项的比值计分） 9．下列选项正确的是（ ） A．命题“，”的否定是， B．满足的集合M的个数为4 C．已知，，则 D．已知指数函数 （其）的图象过点，则 10．已知函数的最小正周期大于，若曲线关于点中心对称，则下列说法正确的是（ ） A． B．是偶函数 C．是函数的一个极值点 D．在单调递增 11．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值不可能的是（ ） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若实数，且，则的最小值为______． 13．已知，，，则a，b，c的大小关系是______（用“＞”连接） 14．某零食生产厂家准备用长为cm，宽为4cm的长方形纸板剪去阴影部分（如图，阴影部分是全等四边形），再将剩余部分折成一个底面为长方形的四棱锥形状的包装盒，则该包装盘容积的最大值为______cm3． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）在中，． （1）求； （2）若a＝12，D为BC边的中点，且AD＝3，求b的值． 16．（15分）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与．招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败．若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立． （1）若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为，，，求小李成功竞聘的概率P； （2）统计得10000名竞聘者的得分，试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人．（四舍五入取整） 附：若随机变量，则 ， 17．（15分）如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形． （1）证明：； （2）若，求二面角的正弦值． 18．（17分）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点．现有一椭圆，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为，，且满足． ①证明：直线l过定点； ②若，求k的值． 19．（17分）已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若关于x的不等式无整数解，求a的取值范围． 数学参考答案： 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A B A B D D 二、多选题： 9．BC 10．ABC 11．ACD 【详解】由，得 ， 所以， 即a被10除得的余数为0，结合选项可知只有2020被10除得的余数为0，即b的值不可能的是AD．故选：ACD 三、填空题： 12．4 13． 14．/ 【详解】如图是四棱锥形包装盒的直观图，设，连接PO，易知PO⊥平面ABCD， 设AB、BC的中点分别为E、F，连接PE、PF，设AB＝a，BC＝b，PO＝h， 则，因为2PE＋BC＝4，所以， 整理得，所以，同理，所以， 整理得，所以，