3.2.2空间向量的运算(2)课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第三章 空间向量与立体几何 3.2.2空间向量的运算(2) 1.经历由平面向量的运算和运算规则推广到空间向量的运算和运算规则的过程，体会从二维空间到三维空间的变化，培养学生迁移的能力； 2.掌握空间向量的数量积运算． 空间向量的数量积运算． 空间向量的数量积的计算方法，几何意义，立体几何问题的转化． 上节课我们类比平面向量，把向量的概念及线性运算由平面向空间进行了推广，并用空间向量及其线性运算解决了一些立体几何问题．我们知道，平面向量除了线性运算以外，还有数量积运算．平面向量的数量积运算在研究角度、距离等几何问题时，有非常广泛的应用．今天我们就继续类比平面向量，来学习空间向量的数量积运算． 3 你还记得平面向量的数量积运算是怎么定义的吗？ 两个非零平面向量，的数量积是一个实数，等于这两个向量的模和它们夹角余弦值的乘积，即：． 什么是平面向量的夹角？ 两个非零向量，，在平面中任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作． 规定． 4 在此规定下，两个向量的夹角被唯一确定，并且． 当时，向量与方向相同； 当时，向量与方向相反； 当时，称向量与互相垂直，记作． 规定：零向量与任意向量垂直． 你能类比平面向量，给出空间向量夹角的定义吗？ 两个非零向量，，在空间中任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作． 规定． 5 能否类比平面向量，得到空间向量的数量积运算的定义呢？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此两个空间向量数量积的定义和平面向量数量积的定义完全一致．即： 定义 已知两个非零向量，，把叫作与的数量积，记作． ． （1）； （2）； （3）⇔． 结论 6 向量的数量积运算有哪些运算律？如何证明？ 与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律： （1）交换律：； （2）分配律：； （3）． 你能尝试证明这些结论吗？ 7 判断下列命题是否正确： （1）由，可得或； （2）对于三个非零向量，，，由，可得到； （3）对于两个非零向量，，由，可得到或． （4）对于向量，，，有． 解：（1）不一定，∵，∴或或． 即或或； （2）不一定，由，有，从而有或； （3）不能，向量没有除法运算； （4）不一定，两个向量的数量积为一个实数，和分别表示与向量和向量共线的向量，它们不一定相等．即向量的数量积运算没有结合律． 8 定义 我们在平面向量中学习过投影向量的概念，你还记得什么是投影向量吗？能推广到空间向量中吗？ 由于任意两个空间向量总能通过平移变成同一平面内的向量，因此平面向量的投影概念可以直接推广到空间中． 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为点，称向量为向量在向量方向上的投影向量，其长度等于． 当为锐角时，； 当为钝角时，； 当时，． 9 若用表示与向量同方向的单位向量，则向量在向量方向上的投影向量为． 因此称为投影向量的数量，简称为向量在向量方向上的投影数量． 结合空间向量数量积的定义可知： 向量在向量方向上的投影数量为：． 10 如图，已知单位正方体， （1）指出向量分别在，，方向上的投影向量； （2）求向量在方向上的投影数量； （3）求向量在方向上的投影数量． 向量分别与，，是什么位置关系？ 解：（1）根据正方体的性质知：，，，所以向量在，，方向上的投影向量分别为，，； D A B C A' B' C' D' 垂直 过点分别向直线，，作垂线，垂足分别是什么？ ，， 如图，已知单位正方体， （1）指出向量分别在，，方向上的投影向量； （2）求向量在方向上的投影数量； （3）求向量在方向上的投影数量． 向量分别与，的夹角有什么关系？ 解：（2）∵，∴向量在方向上的投影数量为：； （3）∵，∴向量在方向上的投影数量为：． D A B C A' B' C' D' 互补 如图，已知四棱柱的底面是边长为1的菱形， 且，． 求：（1）；（2）；（3）． C D A' B' C' D' A B 解：（1）因为，所以； （2）因为，而， ， 所以； （3） ． 空间向量数量积的计算问题的解题思路： 在几何体中求空间向量数量积的步骤： (1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式； (2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； (3)代入求解． 长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等． （多选）设为空间中的两个非零向量，则下列各式正确的是(　　) A．