第4-5章 因式分解和分式方程（考点压轴，压轴必刷12种题型30题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）

第4-5章 因式分解和分式方程（压轴必刷12种题型30题） 一．因式分解-提公因式法（共2小题） 1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（　　） A．（x﹣3）（b2+b） B．b（x﹣3）（b+1） C．（x﹣3）（b2﹣b） D．b（x﹣3）（b﹣1） 2．已知：a+b＝3，ab＝2，求下列各式的值： （1）a2b+ab2； （2）a2+b2． 二．因式分解-十字相乘法等（共1小题） 3．下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣4x＝y 原式＝（y+2）（y+6）+4（第一步） ＝y2+8y+16（第二步） ＝（y+4）2（第三步） ＝（x2﹣4x+4）2（第四步） 请问： （1）该同学因式分解的结果是否彻底？　 　（填“彻底”或“不彻底”）．若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果． （2）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解． 三．因式分解的应用（共9小题） 4．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．6 5．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 　 　． 6．已知x2+y2+z2+2x﹣4y﹣6z+14＝0，则x﹣y+z＝　 　． 7．已知m2﹣mn＝2，mn﹣n2＝﹣5，则3m2+2mn﹣5n2＝　 　． 8．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值　 　． 9．已知x为自然数，且x+11与x﹣72都是一个自然数的平方，则x的值为　 　． 10．利用因式分解计算：2022+202×196+982＝　 　． 11．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值． 12．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则 原式＝A2+2A+1＝（A+1）2． 再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝　 　； （2）因式分解：（x2﹣6x）（x2﹣6x+18）+81； （3）求证，若n为正整数，则式子（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方． 四．分式的基本性质（共1小题） 13．已知，则＝　 　． 五．分式的加减法（共2小题） 14．如果记y＝＝f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，即f（1）＝＝；f（）表示当x＝时y的值，即f（）＝＝，那么f（1）+f（2）+f（）+f（3）+f（）+…+f（n）+f（）＝　 　．（结果用含n的代数式表示，n为正整数）． 15．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式． 解：由分母为x+1，可设3x2+4x﹣1＝（x+1）（3x+a）+b． 因为（x+1）（3x+a）+b＝3x2+ax+3x+a+b＝3x2+（a+3）x+a+b， 所以3x2+4x﹣1＝3x2+（a+3）x+a+b． 所以，解得． 所以＝＝﹣＝3x+1﹣． 这样，分式就被拆分成了一个整式3x+1与一个分式的差的形式． 根据你的理解决下列问题： （1）请将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式； （2）若分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式为：5m﹣11+，求m2+n2+mn的最小值． 六．分式的混合运算（共2小题） 16．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是　 　． 17．阅读下列材料：通过小学的学习我