专题12.1 二次根式的化简求值（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题12.1 二次根式的化简求值 · 思想方法 整体思想：指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。 · 知识点总结 一、二次根式的定义 形如（）的式子叫做二次根式，叫做二次根号，叫做被开方数. 二、二次根式有意义的条件 1.二次根式中的被开方数是非负数； 2.二次根式具有非负性：. 三、判断二次根式有意义的条件 1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是 非负数； 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 四、二次根式的性质 性质1：=（），即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 性质2：==，即一个任意实数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 五、同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． ①同类二次根式类似于整式中的同类项； ②几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同； ③判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 六、二次根式的加减法则 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． 七、二次根式的乘除法则 ①二次根式的乘法法则：； ②积的算术平方根：； ③二次根式的除法法则：； ④商的算术平方根：. 八、最简二次根式 我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 九、分母有理化 1.分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母 组成平方差公式； 2.两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个 二次根式的有理化因式不止一个． · 典例分析 【典例1】阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 ab2，ab 3 ，求．我们可以把ab和ab看成是一个整体，令 xab ， y ab ，则．这样，我们不用求出a，b，就可以得到最后的结果． （1）计算： ； （2）m 是正整数， a ，b 且．求 m． （3）已知，求的值． 【思路点拨】 （1）由题目所给出的规律进行计算即可； （2）先求出再由进行变形再求值即可； （3）先得到，然后可得，最后由，求出结果． 【解题过程】 解：（1）原式 ， （2）∵a ，b ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴2， ∵m 是正整数， ∴m=2． （3）由得出， ∴， ∵， 又∵， ∴． · 学霸必刷 1．（2023下·浙江·八年级阶段练习）已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2022下·广西钦州·八年级统考阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·校考一模）若，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023上·四川达州·八年级校考期中）已知x＝，则x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 5．（2023·安徽·校联考模拟预测）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．（2022上·湖南益阳·八年级统考期末）设，，，……，．其中n为正整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（2023上·上海金山·八年级校考期中）如果，则 ． 8．（2022上·湖南长沙·七年级校联考阶段练习）已知，，则 ． 9．（2022下·浙江杭州·八年级校考期中）已知，那么的值等于 ． 10．（2023下·广东深圳·九年级深圳中学校考自主招生）已知x，y为正整数，，求 ． 11．（2023下·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）设，则 ． 12．（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知，则代数式的值为 ． 13．（2022上·上海闵行·八年级上海市闵行区莘松中学校考期中）先