第2章 第1讲 函数的概念及其表示-【勤径学升】2025年高考数学一轮总复习（人教B版2019）

第二章函数的概念与基本初等函数回 第日章 函数的概念与基本初等函数 第1讲函数的概念及其表示 课标要求1 1,了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域 2,在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法，解析法）表示函数. 3.了解简单的分段函数，并能简单应用。 必备知识 夯实四基⑦ 对拉答案P359 知识梳理 数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数 1.函数的概念 (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集，其值域等于各段函数的值域的⑥ 般地，给定两个非空实数集A与B, 以及对应关系f,如果对于集合A中的 常用结论 四 ,在集合B中都有 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至 概念 四 确定的实数y与x对应，则称 多有1个交点 「为定义在集合A上的一个函数，记作 2.注意以下儿个特殊函数的定义战： y=f(x),x∈A (1)分式型函数，分母不为零的实数集合. 对应 (2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合 y=f(x),x∈A 关系 (3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正 数、底数为正且不为1的实数集合 要 定义域 自变量取值的范围 (4)若f(x)=x”,则定义域为{xx≠0}. 所有函数值组成的集合{yy=(x), 值域 (5)正切函数y=tanx的定义域为 x∈A 2.同一个函数 {女≠m+受k∈Z (1)前提条件：①定义域图 :②对应关系 诊断自测】 ④ 思考辨析 (2)结论：这两个函数表达式为同一个函数。 1.判断（在括号内打“√”或“×"） 3.函数的表示法 (1)函数y=1与y=x°是同一函数.( 表示函数的常用方法有固 、图象法和列 (2)对于函数f:A→B,其值域是集合B.() 表法. (3)若A=R,B={xx>0),f:xy=|x,其对 4.分段函数 应是从A到B的函数 () (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关 (4)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这 系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函 两个函数是同一个函数： () 19图 国高考一轮总复习·数学，RJB 教材衍化 B.[-3,1)U(1,2] 2.(教材改编题)下列各组函数中，表示同一个函数 C.[-2,1)U(1,3] 的是 D.(-2,1)U(1,3) A=7尚m= 易错自纠 4,(多选)（函数的柢念理解政铅）下列图形中可以 B.f(x)=2|x与g(x)=√4.z 表示以M={x|0≤x≤1》为定义域，N=(y0≤ y≤1)为值域的函数的图象是 ( C.f(x)=√与g(.x)=(E)月 D.y=/x+I/x-I与y=√r-1 3.(教村改编题)函数f(x)=√一x十x十6+ 马的定义域为 5.(应略函数的定义域改铅)若函数（√x干工） x-1,则f(.x) A.(-∞，-2]U[3,十o∞) 提升能力 考点剖析⊙ [对应答案P360 考点 函数的概念（师生共研） [例1](1)设集合M=(.x0≤x≤2，N= 对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中 {y0≤y≤3}，下列四个图象中能表示从集合 有可能存在与A中元素不对应的元素， M到集合N的函数关系的有 ( (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相 47 41 同，则值拔一定相同 令变式训练令 1.下列式子中y是x的函数的是 012 A.x2+y2=2 B.Vr-1+y-I=1 41 C.y=-2+√1-z D.y=±E 2.已知A={x0≤x≤2}，B={1,2),下列图形能 表示以A为定义域，B为值域的函数的是 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 (2)下列可以作为集合A到集合B的一个函数 的是 A.A=R,B=(yly0)f:y= B.A=R,B=(yly>0),f:y=lr C.A={xx≥01，B=R,f:x→y=x D.A=R,B={1},f:x→y=1 感悟方法 (1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个 元素在非空数集B中有且只有一个元素与之 20 第二章 函数的概念与基本初等函数回 考点2 函数的定义域（师生共研） 例2](1)(2022·河南南阳·高三期末)已知函 2.求抽象函数定义域的方法 数f(x)=lg行则函数g(x)= e)的定 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b们，则复 x+2 合函数f(g(x)的定义城可由不等式a≤ 义域是 g(x)≤b求出. A.{xx<0} B.{.xx<0,且x≠-2 (2)若已知函数f(g(x))的定义城为[a,b们， C.{x-1<x<1) D.{x0<x<1 则f(x)的定义战为g(x)在x∈[a,b们上的 (2)已知函数y=f(x一4)的定义域是 值域 [-1.5],则函数y=∫(2x+1)的定义域为 》变式训练 1.已知函数y=f(.x)的定义域为(0,1)，则函数 感悟方法 F(x)=f(2-1)的定义域为 () 1,求给定解析式的函数定义域的方法 A.(-co,1) B.(-o,0)U(0,1) 求给定解析式的函数的定义城，其实质就是 C.(0,+o∞) D.[0,1) 以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准 2.函数f(x)= 2x 则，列出不等式或不等式组求解：对于实际问 +g[(号)广-1]的定义域为 题，定义域应使实际问题有意义 考点3 求函数的解析式（师生共研） [例3】求下列函数的解析式： 感悟方法 (1)已知f(1-sinx)=cosx,求f(x)的解 函数解析式的求法 析式； (1)配凑法：由已知条件f(g(x))=F(x),可将 (2②)已知f(+)=t+之求f(x)的解 F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代 析式： g(x),便得f(x)的表达式. (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)一2f(x (2)待定系数法：若已知函数的类型（如一次函 一1)=2.x十17，求f(x)的解析式： 数、二次函数)可用待定系数法 (4)已知f(.x)满足2f(x)+f(-x)=3.x,求 (3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式， f(x)的解析式. 可用换元法，此时要注意新元的取值范国， 4)方程思想：已知关于f(x)与f()或 f(一x)等的表达式，可根据已知条件再构造出 另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x). 必变式训练》 1.已知f(x-1)=x2-2x-3,则f(x) 2.已知函数f(x)是二次函数，且满足f(2x十1)十 f(2.x-1)=16x-4x+6,则f(x) 21® 国高考一轮总复习·数学·RJB 考点4 分段函数（多维探究） 角度1求分段函数值 2.已知西数值或函效的取值范国求自变量的值 [例4](1)(2023·四川眉山·三模)已知函数 或范国时，应根据每一段的解析式分别求解， x2,x0, f(x)= 则f(f(-e))= 但要注意检验所求自变量的值或范围是否特 In x.x>0. 合相应段的自变量的取值范围， A.-e2 B.e C.-2 D.2 (2)(2022·山东潍坊·模拟)设函数「(x) 提醒当分段函数的自变量范围不确定时，应 x-3,x≥10， 分类讨论。 则f(8) ( f(f(x+4)),x<10, 冬变式训练 A.10 B.9 C.7 D.6 1.(2022·广东梅州·二模)设函数f(x)= 角度2解分段函数方程或不等式 log(6-x),x<1, [例5](1)(2023·江西渐昌·一摸)已知f(x)= 则f(-2)+f(og6)= 2,x≥1， x+3,x≤0， 若f(a-3)=f(a+2),则f(a)= () ,x>0. A.2 B.6 C.8 D.10 A.2 B.2 C.1 D.0 2.(2022·山东济南·二模)已知函数∫(x)= (2)(2022·浙江卷T4)已知函数f(x)= 2-1,x≤0， 若f(m)=3,则m的值为() -x2+2,x≤1. x,x>0, 则（号）)= ;若 A.5 B.2 C.9 D.2或9 当x∈[a,b门时，l≤f(x)≤3.则b-a的最大值 3.(2022·四川·石室中学模拟)已知函数f(x)= 是 log:>1 则f(.x)<f(x十1)的解集为 感悟方法 x-1,x1, 1,根据分段函数解析式求函数值，首先确定自 变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解 请完成《课时检测训练6》 析式代入求解 第2讲 函数的单调性与最大（小）值 课标采求！ 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，最值，理解其实际意义， 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质， 22当0<a<1时，a>a2,∴原不等式的解集为{x|x<a2或 x>a}; 故(m+1)x—(m2-1)<0对任意实数x∈[-1,1]恒 成立， (-.故只 需 满足 解得 m<当a=1时，a=a2=1,∴原不等式的解集为{x|x≠1};当a>1时，a<a2,∴原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x >a2}; -1或 m>2, 所以实数m的取值范围是(-心，-1)U(2,+). [变式训练]当a=0时，原不等式的解集为{x|x≠0}; 当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}; 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1}. 解 (1)原不等式等价于mx2-2x+(1-m)<0, 当m=0时，-2x+1<0不恒成立； 考点2 当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m<0且 [例3]ABC 解析 根据二次函数开口与二次不等式之间的关 △=4-4m(1-m)<0,无解， 所以不存在实数m,使不等式恒成立.系可知a<0,A正确； ax2+bx+c=0的根为-1,3,则 (2)设f(m)=(x2-1)m-(2x-1), 当m∈[-2,2]时，f(m)<0恒成立. -1×3=一， -1。当且仅当 由①,得1?<x<+F x<=1=或x>=1T.由②,得 ∴a+b+c=-4a>0,B正确； c=-3a>0,C正确； cx2-bx+a<0,即-3ax2+2ax+a<0,则3x2-2x-1< 0,解得-÷<x<1, 取交集，得=!±T<x<中 (|-÷<x<1}∴cx3-bx+a<0的解集为 ,D错误.故 选 ABC. [变式训练] {=|=1+?<x<5).所以x的取值范围是 m<二(3)因为x>1,所以 AB解析由题意，不等式 ax2-bx+c>0的解集 设2x-1=1t>1),x2-1=E+2(-3, 4t所以 m<2+2t—?是(-1,2), 可得一1,2 是方程 ax2-bx+c=0的两个根，所以 J-1+2=2. 且a<0,所以A 正确： l-1×2==. 设g()=t-3+2,∈(1,+～),显然g(1)在(1,+)上为增 函数. 当1 又由b=a,c=-2a,所以b<0,c>0,所以B正确； 当x=-1时，此时a+b+c=0,所以C不正确； 号物把b=a,c=-2a代入不等式ax2-cx+b<0,可得ax2+2ax+a<0. 第二章 函数的概念与基本初等函数因为a<0,所以x2+2x+1>0,即(x+1)2>0,此时不等式的 解集为{x|x≠-1},所以D不正确。 第1讲 函数的概念及其表示 考点3 [必备知识 夯实四基] [例4](0,4)解析当m=0时，不等式1>0恒成立，所以 m=0符合题意； 知识梳理 每一个实数x ②唯一 3相同 ④相同 ⑤解析法 @并集当m≠0时，若关于x的不等式mx2+mx+1>0恒成立， 4-M/-<o.则{ 诊断自测1.(1)× (2)× (3)×(4)× 解得0<m<4,综上所述m的取值范围为(0,4). 2.B 解析 A中，f(x)的定义域为{x|x≠-1},g(x)的定义 域为R,故 A错误；[105]a≥-2 解析 由题得a>2=2=(x-1)+?A+2, B中，g(x)=√4x2=2|x|=f(x),B正确； 因为-2≤x≤0,所以-3≤x-1≤-1,所以(x-1)+4 C中，f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+],故C错 误；+2=-[(1-x)+1--J+2<-2√T+2=-2. D中，y=√x+1√x-1的定义域为(1,+～),由x2-1≥0 可得y=√Z2-1的定义域为(-~,-1)U[1,+～),D 错误. 当且仅当x=—1时得到等号.所以a≥-2. [例6](-心，-1)U(2,+心)解析因为对任意实数x∈ [-1,1],不等式m2-1>x(m+1)恒成立， ·359· 高考一轮总复习·数学·RJB 66=0. (1≠0:x<1且x≠0,解得3.C 解析 由 解得-2≤x≤3且x≠1. ∴F(x)=f(|2'-1|)的定义域为(-～,0)U(0,1). ( 4.BC 解析 A选项中的值域不满足，D选项不是函数的图 象，由函数的定义可知，选项 B,C正确. 2.(-1,0) 解析 由已知可得 解得-1<x5.x2-2(x≥0)解析 令ι=√x+l≥0,则x=t2-1, ∴f(t)=t2-1-1=t2-2,∴函数f(x)的解析式为f(x)= <0.因此，函数f(x)的定义域为(-1,0). x2-2(x≥0). 考点 3 [提升能力 考点剖析] [例3]解 (1)(换元法)设1-sinx=t,t∈[0,2],则sinx= 考点 1 1-t. [例1](1)B 解析 A中1<x≤2中的x没有对应的象，不符 合；B符合函数定义，C也符合函数定义，D中对于0<x≤2 的x有两个象与之对应，不符合.所以有2个满足. ∵f(1-sinx)=cos2x=1-sin2x,∴f(t)=1-(1-t)2=2t -t2,t∈[0,2]. 即 f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. (2)D 解析 A选项：当x为负数时，B中没有元素与之对 应，故 A选项不正确； (2)《配凑法)∵f(x+÷)=x2+2=(x+÷)-2, ∴f(x)=x2-2,x∈(-~,-2)U[2,+～).B选项：当x为零时，B中没有元素与之对应，故B选项不 正确； (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)=ax+b C选项：一个自变量对应两个因变量，不符合函数定义，故 C选项不正确； (a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17. D选项：多个自变量对应一个函数值，符合函数定义，故 D 选项正确.故选 D. Ba+(ae+0)=2a+17∴1+0-17, [变式训练] 1=7:解得1.B 解析 对于A,D,当x=1时，y都有2个值相对应，故不 满足函数的定义； ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 对于B,√x-I+√y-I=1可化为y=(1-√x-I)2+1, 对于定义域中的任意一个x,都有唯一的y与之对应，满足 函数的定义； (4)(方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x,① ∴将x用一x替换，得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①②解得f(x)=3x. {-2≥>x∈0,得出该函数的定义城为四， [变式训练]对于C,由 故不满足函数的定义. 1.x2-4 解析 因为f(x-1)=x2-2x-3=(x-1)2-4,所 以 f(x)=x2-4. 2.C 解析 对于 A,值域为[0,2],不符合题意； 2.2x2-x+1解析设二次函数 f(x)=ax2+bx+ 对于 B,值域为[1,2],不符合题意； 对于 C,值域为{1,2},符合题意； c(a≠0), 已知二次函数f(x)满足f(2x+1)+f(2x-1)=16x2- 对于 D,一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符 合题意.故选 C. 4x+6, 即a(2x+1)2+b(2x+1)+c+a(2x-1)2+b(2x-1)+c =16x2-4x+6,考点 2 >0. 即(1-x)(1+x)>0,解得-1<x<1, 所以函数f(x)的定义域为(-1,1). 46--4,解用；1,则 f(x)=2x2-x+1.可得f(a)=1g 有意义，则[例2](1)B 解析 要使j (8a=16, lc=1,l2a+2c=b, 考点4 g(c)=ff2 {-1220,要使 有意义，则 解得x<0且 [例4](1)D解析由题可得f(-e)=(-e)2=e2,故 f(f(-e))=f(e2)=1ne2=2.x≠—2. rco={fcu+4)所以函数g(x)的定义域为{x|x<0,且x≠-2}. (2)C 解析 因为 则f(8)= [-=:1o](2) 解析 y=f(x2-4)的定义域是[-1,5], f(f(12))=f(9)=f(f(13))=f(10)=7. [例5](1)B解析作出函数 f(x)的图象，f(x)在则x2-4∈[-4,21], (-～,0),(0,+～)上分别单调递增.即函数f(x)的定义域为[-4,21],令2x+1∈[-4,21], x∈[-喜，10].解得 由f(a-3)=f(a+2), (+2>0.若{ 即-2<a≤3,此时f(a-3)=a-3+3=a,[-2.1o].则函数 y=f(2x+1)的定义域为 f(a+2)=√a+2, [变式训练] 所以a=√a+2,即a2=a+2,解得a=2或a=-1(不满1.B 解析 ∵y=f(x)的定义域为(0,1), 足a=√a+2,舍去)2X2-<1.∴0<|2?-1|<1,即 高考一轮总复习·数学·RJB 此时a=2满足题意，则f(a)=√2, ·360 · +2 [·4]和(4.+~).单调增区间为若( 此时不存在满足条件的a. y+ ÷<4.(子·1) 解析 由题意得 解得-3 m<1.所以实数m的取值范围是((3,1).0 式 5.(一～,-4) 解析 ∵f(x)=-x2-2(a+1)x+3的开口 向下， 37 3+√3 解析 由已知f(号)=-(号)+2=,(2)28 r(子)=子+号-1=,所以f(r(合))- 对称轴方程为x=—(a+1),要使f(x)在(一～,3)上是增函 数， 当x≤1时，由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以 -1≤x≤1; 只需一(a+1)≥3,即a≤—4,∴实数a的取值范围为(-, -4]. l≤x+÷-1≤3,所以1<当x>1时，由1≤f(x)≤3可得1 [提升能力 考点剖析] 考点1 x≤2+√3, [例1](1)C 解析 令y=log±u,u=-x2+4x+12.由u= 所以1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+√3, 所以[a,b]≤[-1,2+√3], 所以b-a的最大值为3+√3. -x2+4x+12>0,得-2<x<6. 因为函数 y=log±u是关于u的递减函数，且x∈ (-2,2)时，u=-x2+4x+12为增函数，所以y= [变式训练] log±(-x2+4x+12)为减函数， fco=12=1 所以函数 y=log+(-x2+4x+12)的单调递减区间1.B 解析 因为 所以f(-2)= 是(-2,2). log?8=3,f(log?6)=2m-1=3, 2)解任取 zx。∈(一1.1),且x.<r.,((r)=a(x-l+1 x—1 所以 f(-2)+f(log?6)=6. =a(1+2),则rco-{51mm)=3.2.C 解析 ∵函数 f(x?)-f(x)=a(1+z)-a(1+):=-解得m=9. -a“bc÷下· 3.(-号，+~) 解析 当 x>1时，不等式 f(x)<f(x+1) 当a>0时，f(x?)-f(x?)>0,即f(x?)>f(x?),函数f(x) 在区间(-1,1)上单调递减； 可化为log?x<log?(x+1),此时不等式恒成立，所以x>1; 当a<0时，f(x?)-f(x?)<0,即f(x?)<f(x?),函数f(x) 当x≤1且x+1>1,即0<x≤1时，不等式f(x)<f(x+1) 在区间(-1,1)上单调递增. 可化为x2-1<log,(x+1),因为当0<x≤1时，-1<x2-1 [变式训练] ≤0,log?(x+1)>log?1=0,所以当0<x≤1时，x2-1< 1.D解析因为函数 f(x)=-x|x|+2x= (-x2+2x,x≥0, log?(x+1)恒成立，所以0<x≤1; 当x≤1且x+1≤1,即x≤0时，不等式 f(x)<f(x+1)可 作出函数f(x)的图象， \x2+2x,x<0, 转化为x2-1<(x+1)2-1,化简整理得2x+1>0,解得x> 如图所示： 一2,所以-÷<x≤0. ty 2 (-2,+~).综上所述，不等式 f(x)<f(x+1)的解集为 1 第2讲 函数的单调性与最大(小)值 3元do1 2 [必备知识 夯实四基] 知识梳理 任意 ②f(x?)<f(x?) ③任意 ④f(x?)>f(x?) 由图可知，递增区间是(—1,1),递减区间是(一，-1) ⑤减函数 6≤ 7≥ 8最值点 和(1,+～). 诊断自测 =)<2.AC 解析对任意x?,x?∈(1,+o),有1.(1)×(2)×(3)×(4)√ 2.C 解析 因为?a)=2(a=2)+4-2+, 0,则函数在区间(1,+～)上为减函数，所以f(x)在 对于A,f(x)=-2(x-1)2-2,由二次函数的图象与性质 可知满足题意，故 A可选；[3,4]上是减函数. 所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M+m=6+4=10. 对于B,f(x)=二，根据幂函数的性质，函数在区间(1, +～)上为增函数，故B不可选； 3.C 解析 由4+3x-x2≠0可得x≠-1且x≠4,因为y= x=音，4+3x-x2开口向下，其对称轴为 ,所以y=4+3x- (2·4)和(4.+~),所以y=a+3/-x2的减区间为 的 对于C.f(a)=1+÷,,函数在区间(1,+心)上为减函数，故 C可选； ·361· 高考一轮总复习·数学·RJB