第08讲 函数的奇偶性、对称性和周期性（精讲）-2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用） 第08讲 函数的奇偶性、周期性和对称性（精讲） ①函数的奇偶性及其应用 ②函数的周期性 ③函数的对称性 ★④函数性质的综合应用 一、必备知识整合 一、函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 二、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 三、函数的周期性 （1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 1.奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论： ①奇奇=奇； ②偶偶=偶； ③奇偶=非奇非偶； ④奇奇=偶； ⑤奇偶=奇； ⑥偶偶=偶. （3）常见奇偶性函数模型 奇函数： ①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数： ①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． 2.周期性技巧 3.函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 4.对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 二、考点分类精讲 【题型一 函数的奇偶性及其应用】 1.判断函数奇偶性的方法 (1)定义法： (2)图象法： (3)性质法： 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2.已知函数奇偶性可以解决的三个问题 【典例1】（2023高三·全国·专题练习）判断下列函数的奇偶性． (1)； (2)； (3)； (4) 【典例2】已知是定义在R上的偶函数，且当时，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 一、单选题 1．（2024·北京通州·二模）下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·河北沧州·阶段练习）若，函数为奇函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       4．（2024·安徽淮北·二模）若函数是偶函数（e是自然对数的底数），则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·云南贵州·二模）若函数的定义域为且图象关于轴对称，在上是增函数，且 ，则不等式的解是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 7．（2024·浙江杭州·二模）已知函数对任意实数均满足，则（    ） A． B． C． D．函数在区间上不单调 三、填空题 8．（2024·上海崇明·二模）已知函数为奇函数，则 ． 9．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）为定义在上的奇函数，当时，，则时， ． 10．（2024·云南·模拟预测）若为奇函数，则 . 11．（2024·陕西西安·三模）已知函数，若，则的取值范围为 ． 四、解答题 12．（23-24高三上·江苏常州·期末）已知定义在区间上的函数为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断并证明函数在区间上的单调性. 13．（2024·山东济南·三模）已知函数，其中且． (1)若是偶函数，求a的值； (2)若时，，求a的取值范围． 【题型二 函数的周期性及其应用】 函数周期性的判断与应用 【典例1】（单选题）（23-24高三上·福建三明·期中）若偶函数满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知函数的定义域为，满足，且当时，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．