2.1.1 椭圆及其标准方程（1）课件-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第二章 圆锥曲线 2.1.1 椭圆及其标准方程（1） 1.通过阅读教材中的阅读材料“圆锥的截线”，了解圆锥曲线的由来，明确本章研究的主要内容和数学素养发展的目标． 2.通过动手画图的实践操作，感知、观察动点形成轨迹的过程，抽象出椭圆的定义，发展学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养． 椭圆的定义． 在操作中抽象椭圆的定义． 2 两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果． 据说是古希腊数学家梅内克缪斯创造了抛物线、椭圆、双曲线这些术语，可惜没有留下任何著作． 古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius）（约公元前262-前190）采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线．著有《圆锥曲线论》一书，全书共八卷，含487个命题，是古希腊几何的登峰造极之作． 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线． 阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果．在阿波罗尼的《圆锥曲线论》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展． 11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破．直到16世纪，有两件事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究． 德国天文学家开普勒（Kepler，1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；意大利物理学家伽利略（Galileo，1564-1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线．人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式． 现实生活中我们对“椭圆形状”也并不陌生，如有些汽车油罐横截面的轮廓、篮球在阳光下的投影（如图）等．同学们在生活中见过椭圆形状的物品吗？分享一下自己所见过的椭圆形物品． 让学生拿出课前准备的纸板，两人一组．给每组发一根细绳、两个图钉．小组合作按以下步骤操作： 取一条一定长度的细绳，用笔在纸板上标记两个点和，将绳子的两端分别打个结，然后用图钉将两个绳结分别固定在，处，绳长大于和的距离，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在画板上慢慢移动(始终保持绳子被拉紧的状态)，画出曲线． 通过观察可以发现画出的曲线是椭圆，椭圆有哪些特点？试根据椭圆的特点给出椭圆的定义． 椭圆的定义：平面内到两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的集合（或轨迹）叫作椭圆． 其中这两个定点，叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距． 如果绳长小于或者等于和的距离时，重复刚才的画图步骤还能画出椭圆吗？ 总结：(1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．定值必须大于两定点的距离． (2)当距离的和等于时，点的轨迹是线段． (3)当距离的和小于时，点的轨迹不存在． 当绳长小于或者等于和的距离时，不能画出椭圆． 我们通过观察知道椭圆是具有对称性的，怎么样由椭圆的定义说明该猜想的正确性？ 设点P为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义可知=2a（a为大于0的常数），设点为点P关于直线的对称点，则=2a（a为大于0的常数）这说明点也在椭圆上，且直线是椭圆的对称轴（如图（1））． 类似地，可知线段的垂直平分线MN也是椭圆的对称轴（如图（2）），线段的中点O是椭圆的对称中心（如图（3））． 综上可知，椭圆是轴对称图形，直线及线段的垂直平分线都是椭圆的对称轴；椭圆也是中心对称图形，线段的中点O是椭圆的对称中心． 已知的周长为10，且=4，则的顶点A的轨迹是什么？并说明理由． 解：因为的周长为10，且=4，所以=6，且．根据椭圆的定义可知，的顶点A的轨迹是以B，C为焦点，焦距长为4的椭圆（不含椭圆与直线BC的交点）（如图）． 平面内到两个定点距离之和等于常数的点的集合叫作椭圆． 10 已知两个定点，的距离是6，动点P到两个定点的距离是6，那么动点P的轨迹是什么？ 解：因为两个定点，的距离是6，动点P到两个定点的距离也是6．即动点P到两定点的距离之和等于，所以动点P的轨迹是线段． (1)椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．定值必须大于两定点的距离． (2)当距离的和等于时，点的轨迹是线段． (3)当距离的和小于时，点的轨迹不存在． 11 如图两个定圆⊙和⊙内切，且半径分别为 ， 3 ，动圆M与⊙外切且与⊙内切，那么动圆M的圆心M的轨迹是什么？并说明理由． 解：设动圆M的半径为，因为动圆M与⊙外切，且定圆⊙和⊙半径分别为 ， 3 ，所以=． 同理，动圆M与⊙内切，=．所以＋==4． 又因为定圆⊙和⊙内切所以==2，此时可