压轴题06解答题（四）（最后一道综合大题）-2024年中考数学压轴题专项训练（北京专用）

压轴题06 解答题（四）（最后一道综合大题） 01 新定义与圆的综合题 此压轴题型是北京中考必考压轴题，经常结合新定义，几何图形、函数的性质等一起考查，考查的方向比较多变，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题中比较难的一种． 中考真题演练 1．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”． （1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）． ①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是 　 ； ②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长； （2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围． 2．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（a，b），N． 对于点P给出如下定义：将点P向右（a≥0）或向左（a＜0）平移|a|个单位长度，再向上（b≥0）或向下（b＜0）平移|b|个单位长度，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”． （1）如图，点M（1，1），点N在线段OM的延长线上．若点P（﹣2，0），点Q为点P的“对应点”． ①在图中画出点Q； ②连接PQ，交线段ON于点T，求证：NT＝OM； （2）⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON＝t（＜t＜1），若P为⊙O外一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ．当点M在⊙O上运动时，直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）． 3．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”． （1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　 　； （2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值； （3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长． 4．（2020•北京）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1． 给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A'B'（A'，B′分别为点A，B的对应点），线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”． （1）如图，平移线段AB得到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是 　 　；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点 　 　的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”； （2）若点A，B都在直线y＝x+2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值； （3）若点A的坐标为（2，），记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围． 精选试题训练 1．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，M为⊙O上一点，点N（0，﹣2）． 对于点P给出如下定义：将点P绕点M顺时针旋转90°，得到点P′，点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P关于点M，N的“中旋点”． （1）如图1，已知点P（4，0），点Q为点P关于点M，N的“中旋点”． ①若点M（0，1），在图中画出点Q，并直接写出OQ的长度为 　　； ②当点M在⊙O上运动时，直线y＝x+b上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，求b的取值范围； （2）点P（t，0），当点M在⊙O上运动时，若⊙O上存在点P关于点M，N的“中旋点”Q，直接写出t的取值范围． 2．对于平面直角坐标系xOy中的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），给出如下定义：点P与点Q的“直角距离”为：d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：若点M（﹣1，3），点N（4，1），则点M与点N的“直角距离”为：d（M，N）＝|﹣1﹣4|+|3﹣1|＝5+2＝7．根据以上定义，解决下列问题： （1）已知点P（4，﹣3）． ①若点A（2，﹣4），则d（P，A）＝　 　； ②若点B（b，1），且d（P，B）＝6，则b＝　 ； ③已知点C（m，n）是直线y＝﹣x+2上的一个动点，且d（P，C）＜5，求m的取值范围． （2）已知点C（3，0），P为平面直角坐标系内一点，且满足d（P，C）＝2． ①若点P在y＝x2﹣8x+1