专题07 空间向量与立体几何（九大题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编（沪教版2020选择性必修，上海专用）

专题07 空间向量与立体几何（九大题型+优选提升题） 题型1：空间向量及其运算 1．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知，，则 . 2．（22-23高二上·上海青浦·期末）如图，在四面体中，，且，，则= （用表示） 3．（22-23高二上·上海嘉定·期末）如图，在长方体中，设，，，则 ． 4．（21-22高一下·上海浦东新·期末）如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为 . 题型2：空间向量基本定理 5．（23-24高二上·上海·期末）已知棱长为的正四面体中，为中点，则 . 6．（23-24高二上·上海·期末）设，，是空间中的三个向量，且共面，则 . 7．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知为空间任意一点，、、、满足任意三点不共线，但四点共面，且，则的值为 . 题型3：空间向量的坐标表示 8．（23-24高二上·上海·期末），，则在方向上的数量投影为 . 9．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则实数 . 10．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则 11．（22-23高二上·上海静安·期末）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高三上·上海宝山·期末）已知空间向量.若四点共面，则 . 13．（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、是空间互相垂直的单位向量，且，，则的最小值是 . 14．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知空间向量，则下列说法正确的有 个 ①；②；③若，则；④与方向相同的单位向量为. 题型4：空间向量在立体几何中的应用 15．（21-22高二上·上海静安·期末）设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系为 . 16．（21-22高二上·上海静安·期末）正方体中，为中点，则所成的角为 . 17．（21-22高二上·上海浦东新·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，且直线与平面平行，则实数 ． 18．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，圆锥的底面半径，高，点C是底面直径AB所对弧的中点，D是母线PA的中点，则异面直线CD与AB所成角的大小是 ．（结果用反三角函数表示） 19．（22-23高二上·上海浦东新·期末）已知正方体的棱长为1，点E为棱的中点，正方体表面上一动点P满足且，则直线DP与平面ABCD所成角的大小为 . 20．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，点为线段的中点．设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：复习—简单几何体的表面积与体积 21．（23-24高二上·上海·期末）若将两个半径为的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 . 22．（23-24高二上·上海·期末）高为3，底面半径为1的圆锥的体积为 . 23．（23-24高二上·上海崇明·期末）若正四棱柱的底面边长为3，高为4，则该棱柱的体积为 24．（23-24高二上·上海青浦·期末）已知某圆台上底面和下底面的半径分别为1和2，母线长为3，则该圆台的高为 25．（23-24高二上·上海·期末）图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为10，底面任意两顶点之间的距离为40，则其侧面积为 . 26．（23-24高二上·上海·期末）在边长为1的正方形中裁去一个如图所示的扇形，再将剩余的阴影部分绕旋转一周，则所得几何体的体积为 . 27．（23-24高二上·上海松江·期末）已知球的体积为，高为1的圆锥内接于球O，经过圆锥顶点的平面截球和圆锥所得的截面面积分别为，若，则 28．（23-24高二上·上海·期末）在四棱锥中，底面为正方形，，为空间中一动点，为的中点，平面.若，则的轨迹围成封闭图形的体积为 .    题型6：解答题—直接法求线线角、线面角、二面角 29．（23-24高二上·上海·期末）在长方体中（如图），，点是棱的中点． (1)在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形