第04讲 空间向量及其运算的坐标表示-【暑假预科讲义】2024年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 【人教A版2019】 ·模块一 空间直角坐标系 ·模块二 空间向量的坐标运算 ·模块三 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 ·模块四 课后作业 模块一 空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系及相关概念 ①空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系O-xyz. ②相关概念：O叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它们把空间分成八个部分． (2)右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 2．空间一点的坐标 在空间直角坐标系O-xyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 【考点1 求空间点的坐标】 【例1.1】（23-24高二下·江苏连云港·期中）在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二上·安徽黄山·期末）在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影是点N，则点N的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·北京顺义·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高二下·甘肃定西·阶段练习）在空间直角坐标系中，点在x轴上的射影和在平面上的射影分别点M，N，则点M，N的坐标分别为（    ） A． B． C． D． 模块二 空间向量的坐标运算 1．空间向量的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)． 2．空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 减法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R 数量积 a·b a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 【考点1 空间向量运算的坐标表示】 【例1.1】（23-24高二上·天津·期末）已知空间向量，，则（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（23-24高二上·北京·期中）已知点， ，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（23-24高三·甘肃武威·单元测试）已知向量,则（    ） A． B． C． D． 【考点2 空间向量数量积运算的坐标表示】 【例2.1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知向量，则（    ） A． B． C．4 D．10 【例2.2】（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【变式2.1】（23-24高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【变式2.2】（23-24高二上·北京顺义·期末）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D．不确定 模块三 用空间向量的坐标运算解决相关几何问题 1．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有 当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)； a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； |a|＝＝； cos〈a，b〉＝＝ . 2．空间两点间的距离公式 设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，则P1P2＝||＝. 3．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面