预习第04讲 空间向量及其运算的坐标表示-2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习（人教A版2019选择性必修第一册）

第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 1.理解空间直角坐标系； 2.掌握建立空间直角坐标系的方法； 3.掌握在空间直角坐标系中点坐标的确定方法； 4.掌握空间向量的坐标运算. 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 2 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【题型一】 空间坐标系 相关知识点讲解 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 【例1】在空间直角坐标系中标出下列各点 【典题1】 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 变式练习 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 2.已知点，则点坐标为(    ) A． B． C． D． 【题型二】 建立空间直角坐标系和描点 相关知识点讲解 1 建立空间直角坐标系方法 (1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 (2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系 (3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 特殊地，遇到等腰三角形，利用三线合一；遇到菱形，利用对角线相互垂直. 2 求点的坐标 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 【典题1】 如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.    【典题2】如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形， ，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，如何建立空间直角坐标系呢？ 变式练习 1. 如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 2. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 3.(多选)已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则(    ) A．点的坐标为(2，0，2) B． C．的中点坐标为(1，1，1) D．点关于y轴的对称点为(－2，2，－2) 4.如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【题型三】 空间向量坐标运算 相关知识点讲解 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【例1】若，证明. 【典题1】已知空间向量，，则下列结论正确的是(    ) A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 变式练习 1.已知向量，若三点共线，则(    ) A． B． C．2 D．8 2.设，向量 且，则的值为( ) A．-1 B．1 C．2 D．3 3.已知空间三点，，，则与的夹角为(    ) A． B． C． D． 4.已知向量，，且与互相垂直，则实数等于(    ) A． B．或 C．或 D．或 5.已知空间向量，，若与垂直，则等于(    ) A． B． C． D． 6.在空间直角坐标系中，． (1)求的余弦值； (2)求三角形的面积． 【题型四】 空间向量的应用 【典题1】 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为(    )    A． B． C． D． 【典题2】如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．    (1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标； (2)求的余弦值． 变式练习 1.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则(    ) A． B．0 C．2 D．4 2.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为(    )    A． B． C． D． 3.如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动(包含边界)，且满足，则线段的长度的最大值为(    )    A． B． C． D． 4.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为(    ) A． B． C． D． 5.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 【A组---基础题】 1.已知，则(    ) A． B． C． D． 2.已知向量，，则以下说法不正确的是(    ) A． B． C． D． 3.如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，)，且，则(    ) A． B． C． D． 4.(多选)在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱、的中点，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是(    ) A．三棱锥体积是 B．直线平面CMN C．异面直线PD与所成角的余弦值的范围是 D．三棱锥的外接球表面积是 5.如图，在三棱锥中，，并且，又是底面内一点，则到三棱锥三个侧面的距离分别是，则 ． 6.如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则 .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 . 7.已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 8.如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【B组---提高题】 1.如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 2.如图所示，在六面体中，，，，则该六面体的外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 1.理解空间直角坐标系； 2.掌握建立空间直角坐标系的方法； 3.掌握在空间直角坐标系中点坐标的确定方法； 4.掌握空间向量的坐标运算. 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 2 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【题型一】 空间坐标系 相关知识点讲解 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 【例1】在空间直角坐标系中标出下列各点 【典题1】 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可. 【详解】点关于x轴对称的点的坐标为. 故选：B 变式练习 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为． 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为． 故选：A. 2.已知点，则点坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终点坐标减去起点坐标，即为所求向量的坐标，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，解得， 所以点坐标为. 故选：B. 【题型二】 建立空间直角坐标系和描点 相关知识点讲解 1 建立空间直角坐标系方法 (1) 利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 (2) 利用线面垂直关系构建直角坐标系 (3) 利用面面垂直关系构建直角坐标系 特殊地，遇到等腰三角形，利用三线合一；遇到菱形，利用对角线相互垂直. 2 求点的坐标 射影法 看所求点分别在轴的投影对应的数值. 如求点横坐标，过点作平面，再过点作轴，看点对应数值即是； 或直接构造长方体，即求出线段长度，再注意下正负号可得点坐标. 一般地，点在平面或易得点在轴的投影均适合射影法； 公式法 对中点、等分点、重心等点可用公式求解； 向量法 利用平行、垂直关系求某向量的坐标，再求点坐标； 利用三角形法则或平行四边形法则，求出某向量的坐标，再求点坐标； 三点共线问题：如若点，若点在线段上，则可设，利用待定系数法求出！ 几何法：把空间问题转化为平面问题，常见于利用相似三角形的性质. 【典题1】 如图所示，在四棱锥中，建立空间直角坐标系，若，是的中点，求点的坐标.    【答案】 【分析】法一：分别求得在坐标轴上的投影可得； 法二：设的单位向量分别为，利用空间的线性运算可得，即可求解. 【详解】法一：设点在轴、轴、轴上的射影分别为， 它们在坐标轴上的坐标分别为，所以点的坐标是.    法二：设的单位向量分别为，则为空间的一个基底， . 所以点的坐标是. 【典题2】如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形， ，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，如何建立空间直角坐标系呢？ 【答案】以为原点，分别以 所在的直线为轴建立空间直角坐标系 【分析】说明 两两垂直，即可知如何建立空间直角坐标系，即得答案. 【详解】因为，且顶点在底面上的射影恰为点， 故可得 两两垂直， 故可以为原点，分别以 所在的直线为轴建立空间直角坐标系. 变式练习 1. 如图，在长方体中，，点是的中点，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间直角坐标系中点坐标公式可得. 【详解】由图可知，， 因为点是的中点， 则由中点坐标公式可得. 故选：C. 2. 如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，交于点，连接，利用线面平行的性质定理得，从而得是的中点，即可求解点的坐标. 【详解】设，交于点，连接， 因为正方形与矩形所在的平面互相垂直， 点在上，且平面，又平面平面，平面， 所以，又，所以是平行四边形， 故，所以是的中点， 因为，所以，所以. 故选：C 3.(多选)已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则(    ) A．点的坐标为(2，0，2) B． C．的中点坐标为(1，1，1) D．点关于y轴的对称点为(－2，2，－2) 【答案】BCD 【分析】根据空间直角坐标系，可求点的坐标，由此判断A;求出的坐标，可判断B; 利用中点坐标公式求得的中点坐标，可判断C;根据空间点关于坐标轴的对称点的特点可判断D. 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为(1，1，1)，故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为(－2，2，－2)，故D正确， 故选：BCD 4.如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.    【答案】， 【分析】侧面，而与不垂直，此时在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 则三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标. 【详解】在平面上过点作垂直的直线，与相交于点， 如图所示，侧面，侧面，侧面，, 又,所以两两垂直，以为原点， 分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系． ，，，则， 所以，，，，，， 为棱的中点，则有. 【题型三】 空间向量坐标运算 相关知识点讲解 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【例1】若，证明. 证明 设为空间的一个单位正交基底， 则， 所以 利用向量数量积的分配律以及 得. 【典题1】已知空间向量，，则下列结论正确的是(    ) A． B．与夹角的余弦值为 C． D． 【答案】C 【分析】 根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B：与夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：，，则，即，故C正确； 对于D：，，故D错误； 故选：C 变式练习 1.已知向量，若三点共线，则(    ) A． B． C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量， 所以，所以，所以. 故选：A 2.设，向量 且，则的值为( ) A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由空间向量垂直和平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为， 所以， 又， 所以设，即， 所以， 故选：B. 3.已知空间三点，，，则与的夹角为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得两向量的坐标，利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】∵， ， ∴结合向量夹角范围易知：与的夹角为． 故选：C. 4.已知向量，，且与互相垂直，则实数等于(    ) A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据的坐标分别求出与的坐标表示，由与互相垂直，得与的数量积为零即可求解． 【详解】， ， 由与互相垂直， 有， 解得或． 故选：C． 5.已知空间向量，，若与垂直，则等于(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助空间向量的坐标运算及垂直的性质计算可得的值，再利用模长公式计算即可得解. 【详解】因为，，所以， 因为与垂直，所以，所以， 解得，所以，所以. 故选：B. 6.在空间直角坐标系中，． (1)求的余弦值； (2)求三角形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用空间两点间的距离，求出长，再利用余弦定理即可求出结果； (2)根据(1)中结果，求出，，，再利用三角形面积公式即可求出结果. 【详解】(1)因为， 所以，，， 由余弦定理得，. (2)由(1)知，， 所以. 【题型四】 空间向量的应用 【典题1】 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是2，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记，其中．则MN的长的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面垂直性质可证得平面，则以为坐标原点可建立空间直角坐标系；利用空间中两点间距离公式可表示出；将整理为，由二次函数最值可得结果. 【详解】平面平面，平面平面，，平面，平面， 则以为坐标原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，， ； 则， 当时，最小，最小值为. 故选：A. 【典题2】如图，在三棱柱中，平面，，，，分别为，，，的中点，，．    (1)试建立空间直角坐标系，并写出点，的坐标； (2)求的余弦值． 【答案】(1)，；坐标系见解析 (2)． 【分析】(1)根据已知条件得到三条线两两垂直建系写出坐标即可; (2)根据空间两点间距离公式求出距离,再在三角形中应用余弦定理即得. 【详解】(1)因为，平面，所以平面．    又平面，平面，所以，． 又，所以，所以直线，，两两垂直， 以E为坐标原点，以，，为轴建立如图所示的空间直角坐标系． 易得，，， 所以点D、G的坐标分别为， ． (2)因为，所以， ，， 在中，， 即的余弦值为． 变式练习 1.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则(    ) A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可. 【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， ， ，， ，即 ，即C正确, 故选：C. 2.如图所示，三棱锥中，平面，，点为棱的中点，分别为直线上的动点，则线段的最小值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立的函数关系求解即可. 【详解】三棱锥中，过作平面，由，知， 以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，    由平面，得，则， 令，则，设， 于是， 当且仅当时取等号，所以线段的最小值为. 故选：B 3.如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动(包含边界)，且满足，则线段的长度的最大值为(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 4.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出、、的值，利用同角三角函数的基本关系结合三角形的面积公式可求得结果. 【详解】由已知可得，， 则，， ， 即， 所以以、为邻边的平行四边形的面积为． 故选：D. 5.如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2). 【分析】 (1)建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，表示出的坐标，根据，可得，即可求得答案； (2)根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】(1)设正三棱柱的棱长为2，设AC的中点为O，连接， 因为为正三角形，故， 以AC的中点O为原点，为轴，以过点O和平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，， 因为，故，则， 故， 因为，所以， 即. (2) 由(1)知，所以，， 所以，， 所以， 由于异面直线所成角的范围为， 所以异面直线PC与所成角的余弦值是. 【A组---基础题】 1.已知，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的坐标求模判断A，根据向量的数量积坐标运算判断BC，根据向量加法的坐标运算及向量共线的判定判断D. 【详解】因为， 所以，故A错误； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为，所以不正确，故D错误. 故选：B 2.已知向量，，则以下说法不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，向量的夹角，即可对选项做出判断. 【详解】因为向量，， 所以，故，所以选项A正确； ，， 所以，故选项B正确； ，所以，， 所以，故选项C错误； ，所以，， 又，故，所以选项D正确. 故选：C 3.如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，)，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当的空间直角坐标系，由共线向量表示出，又，结合已知可得，由此即可得解. 【详解】建立空间直角坐标系如图， 则，，，，， 设，由，得， 所以，，， 所有，， 因为，， 所以，得. 故选：C. 4.(多选)在棱长为2的正方体中，M，N分别是棱、的中点，点P在线段CM上运动，下列四个结论正确的是(    ) A．三棱锥体积是 B．直线平面CMN C．异面直线PD与所成角的余弦值的范围是 D．三棱锥的外接球表面积是 【答案】AD 【分析】根据三棱锥体积公式可判断A；由题意说明点D不在平面CMN内，即可判断B；确定异面直线PD与所成角，利用特殊点的位置可确定角的大小范围，即可判断C；建立空间直角坐标系，求得外接球球心坐标，即可求得外接球半径，继而求得外接球表面积，判断D. 【详解】对于A，，故，A正确， 对于B，连接，则， 由于平面平面,平面，故平面, 而C是平面与平面的一个交点， 故平面与平面的交线为过点C和平行的直线， 又，则四边形为平行四边形， 所以， 即平面与平面的交线为过点C和平行的直线，也和平行， 即平面，而平面， 故平面，即平面，故直线平面CMN，B错误； 对于C，因为，故的夹角即为异面直线PD与所成角， 当P点与C重合时，的夹角为0度， 此时异面直线PD与所成角可无限接近于0度，余弦值可无限接近于1， 当P点与M重合时，的夹角最大， 由于， 故， 故异面直线PD与所成角的余弦值的范围是，C错误； 对于D，以A为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则, 设三棱锥的外接球球心为， 则,即 ， 解得，经计算验证， 即，则外接球半径为， 故三棱锥的外接球的表面积为，D正确， 故选：AD 5.如图，在三棱锥中，，并且，又是底面内一点，则到三棱锥三个侧面的距离分别是，则 ． 【答案】 【分析】 根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式计算得解. 【详解】 在三棱锥中，， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 依题意，不妨令点，而点，所以. 故答案为： 6.如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则 .该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为 . 【答案】 6 【分析】建系，求相关点的坐标，结合空间中两点间距离公式求两点间距离，即可得结果. 【详解】因为平面，且平面，则， 且，即两两垂直， 如图，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则 ， 则； 要求六面体的任意两个顶点间距离的最大值，只需考虑各体对角线的距离， 则， 所以该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为. 故答案为：；6. 7.已知空间中三点，，，设，． (1)若，且，求向量； (2)已知向量与互相垂直，求的值； (3)若点在平面上，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】(1)由向量的坐标表示共线和模长计算求出即可； (2)由向量垂直的坐标表示求出参数即可； (3)由点在平面上，设，解方程组求出即可. 【详解】(1)，设， 因为，而，所以； 故或 (2)，，， 由与互相垂直得：， 解得. (3)点在平面上，， ， ， 解得：. 8.如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，    (1)求证； (2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； (2)以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据，可得，进而可得出答案. 【详解】(1)因为为等腰直角三角形，，， 所以， 又，，所以， 而，，故， 因，平面，故平面， 又平面，所以； (2)如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则， 设，而，所以， 所以，所以，又， 因为，故， 所以，解得， 所以．    【B组---提高题】 1.如图，在四棱锥中，⊥平面，四边形是正方形，且，E，F分别为的三等分点，若P为底面上的一个动点，则的最小值为(       ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明线面垂直，得到线线垂直，建立空间直角坐标系，推出点在上时，取得最小值，作出点的对称点，由几何关系得到最小值，求出答案. 【详解】因为⊥平面，平面， 所以⊥，⊥， 又四边形是正方形，所以⊥， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 过点分别为⊥，⊥于点， 则⊥平面，⊥平面， 过点作⊥于点，连接， 则，， ，其中， 故要想取得最小值，则，即只需点在上， 其中关于直线的对称点为， 连接，此时取得最小值，最小值为， 其中. 故选：A 2.如图所示，在六面体中，，，，则该六面体的外接球的表面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得两两垂直，再建立空间直角坐标系，求出点的坐标，进而求出球半径即得. 【详解】由，，，得，则，同理， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， 由，，得，解得或， 即点或，由六面体，得点在平面两侧，点不符合题意， 因此点，令线段的中点为，则， 于是，因此六面体的外接球球心为，半径为， 所以六面体的外接球的表面积. 故选：B 10 学科网（北京）股份有限公司 $$