基础题训练9　计数原理与概率统计——2025届高考数学一轮复习

（9）计数原理与概率统计 1.我国古代数学名著《九章算术》中有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？”其意思为：今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有( ) A.200人 B.100人 C.120人 D.140人 2.一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人.现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为( ) A.480 B.270 C.240 D.60 3.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据： x（万元） 2 4 5 6 8 y（万元） 30 40 50 60 70 根据上表可得线性回归方程，计算得，则当投入10万元广告费时，销售额的估计值为( ) A.75万元 B.85万元 C.99万元 D.105万元 4.已知随机变量，若，则( ) A. B. C. D. 5.中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器分类的方法，最早见于《周礼·春宫·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”八类，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，则这“两音”同为打击乐器的概率为( ) A. B. C. D. 6.已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率分别为68.26%，95.44%和99.74%.若某校高二年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有( ) A.477人 B.136人 C.341人 D.131人 7.一个质地均匀的正四面体，四个面分别标有数字1，2，3，4.抛掷该正四面体两次，依次记下它与地面接触的面上的数字.记事件A为“第一次记下的数字为奇数”，事件B为“第二次记下的数字比第一次记下的数字大1”，则下列说法正确的是( ) A. B.事件A与事件B互斥 C. D.事件A与事件B相互独立 8.某校开展“正心立德，劳动树人”主题教育活动，对参赛的100名学生的劳动作品的得分情况进行统计，并绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开区间），根据图中信息，下列结论错误的是( ) A.图中的x值为0.020 B.得分在80分及以上的人数为40 C.这组数据平均数的估计值为77 D.这组数据第80百分位数的估计值为85 9.（多选）已知二项式的展开式中二项式系数和为64，则下列结论中正确的是( ) A.二项展开式中各项的系数之和为 B.二项展开式中二项式系数最大的项为 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中含项的系数为240 10.（多选）红、黄、蓝被称为三原色，选取任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色.已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色，等量的红色加蓝色调配出紫色，等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各2瓶，甲同学从6瓶中任取2瓶颜料，乙同学再从余下的4瓶中任取2瓶颜料，两人分别进行等量调配，A表示事件“甲同学调配出红色”，B表示事件“甲同学调配出绿色”，C表示事件“乙同学调配出紫色”，则下列说法正确的是( ) A. B. C. D.事件B与事件C相互独立 11.在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有__________个. 12.已知随机事件A，B，，，，则__________. 13.已知随机变量X的概率分布如表所示： X -2 0 1 2 P n m 若，则_________. 14.有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为___________. 15.已知随机变量X，Y，其中，，，，则__________. 答案以及解析 1.答案：C 解析：设北面共有x人，则由题意可得，解得，所以北面共有120人，故选C. 2.答案：C 解析：方法一：先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），所以不同的挑选方法的种数是，故选C. 方法二：先在12人中挑选同姓的2人，方法有（种），然后在剩余的10人中，挑选不是同姓的2人，方法有（种），所以不同的挑选方法的种数是，故选C. 3.答案：B 解析：由题意得，， 回归直线过样本点的中心， ，解得， 线性回归方程为. 当时，， 故当投入10万元广告费时，销售额的估计值为85万元.故选B. 4.答案：B 解析：因为，故，故，因为，解得.故，故，故选B. 5.答案：A 解析：记“金、石、木”为a，b，c，“土、竹、丝”为m，n，l，则a，b，c为打击乐器，从“金、石、木、土、竹、丝”中任取“两音”，组成的基本事件包含ab，ac，am，an，al，bc，bm，bn，bl，cn，cm，cl，mn，ml，nl，共l5种情况，其中“两音”同为打击乐器的有ab，ac，bc，共3种情况，则“两音”同为打击乐器的概率.故选A. 6.答案：B 解析：根据题意，， 则， 故此次考试成绩在区间内的学生大约有人. 故选：B. 7.答案：C 解析：由题意得，，，，事件A和事件B不相互独立，.故选C. 8.答案：D 解析：由频率之和为1得，解得，A正确，不符合题意；得分在80分及以上的人数为，B正确，不符合题意；因为，所以C正确，不符合题意；因为，，所以这组数据第80百分位数的估计值落在区间内，，故这组数据第80百分位数的估计值不为85，D错误，符合题意.故选D. 9.答案：ABD 解析：A项，展开式中二项式系数和为，对于，令可得其展开式的系数和为，故A项正确； B项，展开式的通项为，，二项式系数最大的项为，故B项正确； C项，令，得，即二项展开式中有常数项，故C项错误； D项，令，得，所以，故D项正确.故选ABD. 10.答案：AC 解析：从6瓶中任取2瓶颜料的方法数为. 对于A，A表示事件“甲同学调配出红色”，若调出红色，需要2瓶颜料均为红色，有种方法，则，故A正确； 对于B，事件A发生需要2瓶颜料均为红色，事件C发生需要1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料， 在事件A发生的条件下，事件C不可能发生，所以，故B错误； 对于C，若事件B发生，则甲同学取出1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，则，此时还剩1瓶黄色颜料和1瓶蓝色颜料，2瓶红色颜料，则，故，故C正确； 对于D，若事件C发生，则乙取了1瓶红色颜料和1瓶蓝色颜料，甲同学取了至少1瓶黄色颜料或甲同学取了一瓶红色颜料和一瓶蓝色颜料，则，，事件B与事件C不相互独立，故D错误.故选AC. 11.答案：36 解析：如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么两个2捆绑看成一个整体与7，1全排列，排好后有4个空位，再将两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，则小明可以设置的不同密码共有个. 12.答案：0.82 解析：，，.由乘法公式得..故答案为0.82. 13.答案：21 解析：由概率分布的性质和期望的公式，可得，，解得，， 所以， 所以. 14.答案： 解析：设事件A为“一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”， 事件C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则，且B与C互斥，又，，，故.故答案为. 15.答案：0.2 解析：因为，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 因为， 所以，且， 又因为，所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$