专题09指数运算与指数函数（十大考点+二个易错点+精准训练）-2025年高三数学一轮考点剖析及精准训练

专题09指数运算与指数函数 一、指数与指数幂的运算 1．根式 （1）次方根的概念与性质 次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，. 性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示. ②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根. ③0的任何次方根都为0，记作. （2）根式的概念与性质 根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 性质 ①. ②当为奇数时，. ③当为偶数时，. 2．实数指数幂 （1）分数指数幂 ①我们规定正数的正分数指数幂的意义是. 于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式. ②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且 . ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. （2）实数指数幂 对于任意实数，均有下面的运算性质： ①；②；③. 二、指数函数的图象与性质 1．指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是. 【注】指数函数的结构特征： （1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1. 2．指数函数的图象与性质 定义域 值域 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数与的图象关于y轴对称 过定点 过定点，即时， 图象 单调性 在上是减函数 在上是增函数 函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时， 底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大. 考点01 根式与分数指数幂的化简运算 【例1】（多选）下列根式与分数指数幂的互化中正确的有（   ） A． B． C． D． 【例2】化简并求出下列各式的值： (1)； (2)已知，，求的值． 【变式1-1】化简下列各式： （1） =                     （2）（= （3 设，则的值为 【变式1-2】 . 【变式1-3】计算： (1)； (2)． 考点02 含条件的求值问题 【例3】已知，则的值是（　　） A． B． C．24 D． 【例4】已知正实数满足. (1)求的值； (2)求的值. 【变式2-1】已知正数满足，则的最小值为 . 【变式2-2】（1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 【变式2-3】设，，求的值． 考点03 定义域和解析式 【例5】设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例6】若指数函数的图象经过点，求的解析式及的值． 【变式3-1】（多选）已知指数函数满足，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】若函数是上的偶函数，则实数 ． 【变式3-3】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 考点04 值域 【例7】的值域是（ ） A． B． C． D． 【例8】函数的最大值为 . 【变式4-1】已知函数，则的值域为 ． 【变式4-2】函数的定义域为．则其值域为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】函数的值域是 . 考点05 定点及图象问题 【例9】当时，的图像恒过点（   ） A． B． C． D． 【例10】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式5-1】当且时，函数必过定点 . 【变式5-2】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（    ） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，， 【变式5-3】在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 考点06 单调性问题(含求参) 【例11】下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 【例12】若函数在区间内单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】函数的单调递减区间为 ． 【变式6-2】已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为