培优点04隐零点与极值点偏移问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）

培优点04隐零点与极值点偏移问题（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练） 【考试提醒】 隐零点问题是指对函数的零点设而不求，通过一种整体代换和过渡，再结合题目条件最终解决问题；极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，隐零点与极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，难度大 【核心题型】 题型一　隐零点 零点问题求解三步曲 (1)用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程f′(x0)＝0，并结合f′(x)的单调性得到零点的取值范围． (2)以零点为分界点，说明导函数f′(x)的正负，进而得到f(x)的最值表达式． (3)将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时(1)中的零点范围还可以适当缩小． 【例题1】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）. （1）当时，求曲线在点处的切线方程， （2）当时，判断是否存在极值，并说明理由； （3），求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高三上·河南焦作·期末）（1）求函数的极值； （2）若，证明：当时，． 【变式2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数，其中． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围． 【变式3】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：． 题型二　极值点偏移 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>(<)2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2>(<)x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 【例题1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数.若有两个零点，证明：. 【变式1】（2022·全国·模拟预测）设函数. (1)若，求函数的最值； (2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，求证：. 【变式2】（2024下·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)求函数的单调区间； (2)若为两个不相等的实数，且满足，求证：. 【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断在区间内的单调性； (2)若有三个零点，且． （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【课后强化】 【基础保分练】 一、单选题 1．（2022·四川成都·一模）已知，且，则下列说法正确的有（    ） ①； ② ；③；  ④. A．①②③ B．②③④ C．②④ D．③④ 2．（2023·全国·模拟预测）若关于的方程有两个解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川南充·一模）已知函数（）有两个不同的零点，（），下列关于，的说法正确的有（    ）个 ①    ②    ③    ④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 4．（2023·湖南永州·二模）已知，，，，则有（    ） A． B． C． D． 5．（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知关于的方程有两个不等的实根，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 6．（2023·福建宁德·二模）已知函数，则（    ） A． B．若有两个不相等的实根，，则 C． D．若，，均为正数，则 三、解答题 7．（22-23高三上·河南洛阳·开学考试）（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）； （2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分） 8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，． (1)若对任意的都有，求实数的取值范围； (2)若且，，证明：． 9．（2024·全国·模拟预测）已知函数. (1)若时，恒成立，求实数的取值范围； (2)当实数取第（1）问中的最小值时，若方程有两个不相等的实数根，，请比较，，2这三个数的大小，并说明理由. 10．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）设，为函数（）的两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)证明：． 【综合提升练】 一、单选题 1．（22-23高二下·福建厦门·期末）已知函数，若，且，则·c的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江西南昌·二模）已知函数，．若有且只有两个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三上·辽宁锦州·阶段练习）已知函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C