10.3.3 直线与平面所成的角-同步 配套练习（6基本题4提高题2创新题）-2024-2025学年高二数学同步教材【知识解读·题型梳理·配套训练】（沪教版2020必修第三册）

【原卷版】 10.3.3 直线与平面所成的角 班级 姓名 从平面几何到立体几何，我们要注意借鉴平面几何中已有的一些概念、方法和结论，更要特别注意立体几何和平面几何之间的区别；我们生活在一个三维世界中，立体几何的学习有助于我们从几何的角度更好地理解现实的世界，并且锻炼我们的几何直观想象能力；因此，在学习中，要着重注意几何的直观和内涵，不要仅仅停留在表面上的严格推导和论证，还要多画一些示意图来帮助理解，这样才能更好地掌握几何的实质，逐步培养自己的立体感和空间想象能力； 【本章教材目录】 10.1 平面及其基本性质 10.1.1 空间的点、直线与平面；10.1.2 相交平面；10.1.3 空间图形的平面直观图的画法； 10.2 直线与直线的位置关系 10.2.1 空间的平行直线；10.2.2 异面直线；10.2.3 两条异面直线所成的角； 10.3 直线与平面的位置关系 10.3.1 直线与平面平行；10.3.2 直线与平面垂直；10.3.3 直线与平面所成的角；10.3.4 三垂线定理； 10.4 平面与平面的位置关系 10.4.1 平面与平面平行；10.4.2 二面角 *10.5 异面直线间的距离 考点一 直线与平面所成的角 （1）直线与平面所成的角的定义： 如图，一条直线PA和一个平面α相交， 但不与这个平面垂直， 这条直线叫做这个平面的斜线， 斜线和平面的交点A叫做斜足； 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影； 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°（或）；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°. （3）范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°（或）； 【说明】把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段； 1、若斜线段AB的长是它在平面α上的射影长的2倍，则AB与平面α所成的角是 【说明】本题考查了求直线与平面所成角本质是：斜线与斜线在平面上的射影所成的锐角或直角； 2、如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点； 则直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值为 ； 【说明】求直线与平面所成角的步骤 （1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线. （2）连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角. （3）把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角. 3、等腰的斜边在平面内，若与所成的角为，则斜边上的中线与所成的角为________.  4、如图所示，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面， C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB， 则直线PC和平面ABC所成角的正切值为________． 5、若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线（ ） A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能 6、已知是平面内一条直线，是平面的一条斜线，且在平面内的射影为，若与的夹角为，与的夹角为，则与平面所成角的余弦值为（       ） A． B． C． D． 【说明】本题综合考查涉及直线与平面所成角的试题的“找角”、“求角”过程；方法归纳： 求斜线与平面所成角的步骤： 1、作图：作（或找）出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； 2、证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； 3、计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算； 7、在正方体ABCD­A1B1C1D1中， （1）直线A1B与平面ABCD所成的角是________； （2）直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________； （3）直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________． 【说明】求斜线与平面所成角的步骤： （1）作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算； （2）证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角； （3）计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算； 8、等腰直角三角形ABC