复习02讲 平面向量中的最值、范围问题及极化恒等式的应用（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假自学提升课（人教A版2019选择性必修第一册） 复习02讲 平面向量中的最值、范围问题及极化恒等式的应用（精讲+精练） ①数量积的最值、范围问题 ②模长（线段长度）的最值、范围问题 ③夹角的最值范围问题 ④极化恒等式的妙用 一、基础储备 （1）向量在平面几何中的应用 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤模长：； ； ⑥对于题目中遇到的有些平面图形(如长方形、正方形、直角三角形等)的计算求解问题,可通过建立平面直角坐标系,用坐标把向量表示出来,通过代数运算来解决(“形”转“数”). （2）平面向量解决最值问题，通常有两种思路 ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 二、极化恒等式 设a，b是平面内的两个向量，则有 证明：，①，② 将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式． ①几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得． 即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”． ②几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得， 该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型． 注：具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量成为另一种可能；我们从极化恒等式看到向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合． ①数量积的最值、范围问题 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高一下·重庆·期中）在边长为2的正方形中，是的中点，点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）如图，已知AB是圆的直径，是圆上一点，，点是线段BC上的动点，且的面积记为，圆的面积记为，当取得最大值时，（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北唐山·二模）已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京·期中）已知的外接圆的半径为1，，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．（23-24高一下·浙江杭州·期中）正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024高一下·全国·专题练习）如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为 . 7．（2024·北京昌平·二模）已知正方形的边长为1，点满足．当时， ；当 时，取得最大值． 8．（23-24高二下·江苏南京·期中）如图，已知矩形ABCD的边，．点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为 ． 9．（2024高三·全国·专题练习）在中，，，，若是所在平面内一点，且，则的最大值是 . 10．（23-24高一下·北京·期中）已知边长为2的菱形中，，点满足，点为线段上一动点，则的最大值为 . 11．（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知点是边长为3的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是 . 12．（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，，，点D为的中点，点E为的中点，若，则的最大值为 . ②模长（线段长度）的最值、范围问题 【题型精练】 一、单选题 1．（22-23高一下·重庆沙坪坝·期中）在梯形ABCD中，，，，.若点P在线段BC上，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．6 2．（23-24高一下·北京·期中）如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4．（23-24高一下·重庆万州·阶段练习）在中，，若点为的中点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·全国·模