精品解析：湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题

2024年5月湖湘教育三新探索协作体高二期中联考 数学 班级：_________ 姓名：_________ 准考证号：_________ （本试卷19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，将答题卡上交． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求得． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，若为纯虚数，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 根据与之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为，已知数据的平均值为1.2，则数据的平均值为（ ） A. 2.6 B. 2.3 C. 1.8 D. 1.5 4. 已知为正实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 6 5. 是圆上动点，则点到直线的距离最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 井字棋起源于古希腊，是一种在格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（ ） A. 144 B. 120 C. 96 D. 90 7. 双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线右支上的一点，连接交左支于点．若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 已知，过点可作曲线的两条切线，切点为，．求的取值范围（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前项和为，下列说法正确的有（ ） A 等差数列，若，则，其中 B. 等比数列，若，则，其中 C. 若等差数列，则成等差数列 D. 若等比数列，则成等比数列 10. 已知，则下列描述正确的是（ ） A. B. 除以5所得的余数是1 C. 中最小 D. 11. 正方体，棱长为2，点满足，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当与面所成角为时，则点的轨迹长度为 C. 当时，的最小值为 D. 当时，过三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则_________． 13. 长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为_________． 14. 已知是正项数列，其前项的和为，且满足表示不超过的最大整数，若恒成立，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知为圆柱底面圆的直径，为下圆周上的动点，为圆柱母线． （1）证明：平面平面； （2）若点到平面距离为，四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知．且，函数的最小正周期为． （1）求函数的解析式与单调递增区间； （2）在锐角中，内角的对边分别是，点在上，且平分，求的周长． 17. 如图，点在圆上运动且满足轴，垂足为点，点在线段上，且，动点的轨迹为． （1）求曲线方程； （2）已知，过的动直线交曲线于两点（点在轴上方）分别为直线与轴的交点，是否存在实数使得？说明理由． 18. 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量． （1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数； （ⅱ）随机变量的数学期望； （2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系． 19. 英国