第01讲 函数的概念及其表示（十六大题型）（讲义）-【上好课】2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）

第01讲 函数的概念及其表示 目录 01 考情透视·目标导航 2 02 知识导图·思维引航 3 03 考点突破·题型探究 4 知识点1：函数的概念 4 知识点2：函数的三要素 4 知识点3：函数的表示法 5 知识点4：分段函数 5 解题方法总结 5 题型一：函数的概念 6 题型二：同一函数的判断 7 题型三：给出函数解析式求解定义域 8 题型四：抽象函数定义域 9 题型五：函数定义域的综合应用 10 题型六：待定系数法求解析式 10 题型七：换元法求解析式 11 题型八：方程组消元法求解析式 12 题型九：赋值法求解析式 13 题型十：求值域的7个基本方法 13 题型十一：数形结合求值域 16 题型十二：值域与求参问题 17 题型十三：判别式法求值域 17 题型十四：三角换元法求值域 18 题型十五：分段函数求值、求参数问题 19 题型十六：分段函数与方程、不等式 20 04真题练习·命题洞见 20 05课本典例·高考素材 21 06易错分析·答题模板 23 易错点：错求抽象函数的定义域 23 答题模板：求抽象函数的定义域 23 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2023年北京卷第15题，5分 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对函数的概念及其表示的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 复习目标： 1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素 2、会求常见函数的定义域和值域 3、掌握求函数解析式的方法 知识点1：函数的概念 （1）一般地，给定非空数集，，按照某个对应法则，使得中任意元素，都有中唯一确定的与之对应，那么从集合到集合的这个对应，叫做从集合到集合的一个函数．记作：，．集合叫做函数的定义域，记为，集合，叫做值域，记为． （2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 【诊断自测】下列图象中，y不是x的函数的是（    ） A．     B．     C．   D．     知识点2：函数的三要素 （1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域． （2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 【诊断自测】下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（   ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 知识点3：函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 【诊断自测】已知函数，则（    ） A． B． C． D． 知识点4：分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知若，则实数的值为（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 解题方法总结 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于或等于零： （3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； （4）零次幂或负指数次幂的底数不为零； （5）三角函数中的正切的定义域是且； （6）已知的定义域求解的定义域，或已知的定义域求的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同； （7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2、基本初等函数的值域 （1）的值域是． （2）的值域是：当时，值域为；当时，值域为． （3）的值域是． （4）且的值域是． （5）且的值域是． 题型一：函数的概念 【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】已知是定义在有限实数集A上的函数，且，若函数的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则的值不可能是（    ） A．0 B． C． D． 【方法技巧】 利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元素. 【变式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（    ） A． B． C． D．R 【变式1-2】将函数的图象绕着原点沿逆时针方向旋转角得到曲线，已知曲线始终保持为函数图象，则的最大值为（    ）